Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

 
 
 
 
 
 
 

---

375 
BA’ZI GEOMETRIK FORMULALARNI KELTIRIB CHIQARISHGA 
BIRINCHI AJOYIB LIMITNING TADBIQI 
 
Esanov E.A. - O‘zbekiston Respublikasi Qurolli Kuchlari 
Akademiyasi oʻqituvchisi 
Oliy harbiy bilim yurtlarida oliy matematika fanini oʻrganishda kursantlarning
olgan nazariy bilimlarini amaliyotga tatbiq etish, harbiy – amaliy mazmundagi 
masalalarni yechish orqali ularning abstrakt va mantiqiy fikirlash qobiliyatlarini 
rivojlantirish, teoremalarni isbotlashning eng maqbul yoʻlini izlab topish va ularni 
joriy etishda birinchi ajoyib limitdan foydalanish muhim rol oʻynaydi. Ushbu
maqolada geometryaga oid ayrim teoremalarning isbotlari birinchi ajoyib limit 
tatbiqidan foydalanib oʻrganishga qaratildi: 
Teorema. Doiraning yuzi uni chegaralovchi aylana uzunligi bilan radiusi 
koʻpaytmasining yarmiga teng. ([1])
Isboti. Bizga ma’lumki, bu teorema geometriya fanida doiraga ichki va tashqi 
chizilgan muntazam 
𝑛 burchaklar orqali isbotlanadi.
Biz quyida yuqorida keltirilgan tushunchalar va oliy matematika faniga oid 
birinchi ajoyib limit orqali bu teoremaning analitik isbotini keltiramiz. 
Yetarlicha katta 
𝑛 larda yuqoridagi koʻpburchaklar peremetrlari aylana 
uzunligidan kam farq qiladi. Shuning uchun doiraning yuzi sifatida koʻpburchaklar 
yuzlarining limiti qabul qilinadi. 
Birinchi ajoyib limit formulasi:
1
sin
lim
0


x
x
x
([3]) (Bu formulada burchak, 
radian oʻlchovida hisoblanadi).
Agar 
𝑛 → ∞ da 𝑓(𝑛) → 0 boʻlsa, xususiy holda
1
)
(
)
(
sin
lim
0
)
(


n
f
n
f
n
f
(1) 
tenglikka ega boʻlamiz. Radiusi
R
boʻlgan aylana ichiga
n
tomonli 

n
A
A
A
A
...
3
2
1
koʻpburchak chizaylik (1-rasm). U holda 1-rasmga koʻra 
2
1
A
OA
uchburchakda
R
OA
OA


2
1
boʻlib, 
n
0
360


boʻladi. Bu uchburchakning yuzi
n
R
n
R
OA
OA
S


2
sin
2
1
360
sin
2
1
sin
2
1
2
0
2
2
1





ga teng. 
Koʻpburchakning yuzini S
n
deb belgilasak, u holda S
n
=n·S yoki
n
R
n
S
n

2
sin
2
2

boʻladi. n→∞ koʻpburchakning yuzi unga tashqi chizilgan 
doiraning yuziga intiladi, ya’ni (1) tenglikka binoan
2
2
2
2
2
2
sin
lim
2
2
sin
2
lim
lim
R
n
n
R
n
R
n
S
S
n
n
n
n

















.
O 
𝛼 
𝑅 
1-rasm 
𝐴
1
 
𝐴
2
𝐴
𝑛
𝐴
𝑛−1

---

376 
Endi radiusi
R
boʻlgan aylana ichiga
n
tomonli 

n
B
B
B
B
...
3
2
1
koʻpburchak 
chizaylik. Bunda 
n
OB
B
OB
B
OB
B
OB
B
n
n
n


2
...
1
1
3
2
2
1











ga teng.
Aylana radiusini
R
, koʻpburchakning B
1
B
2
tomononi a deb olsak, B
1
OB
2
uchburchakning yuzi
R
a
2
1
S
2
OB
1
B



(2) 
boʻladi (2-rasm).
O
C
B
1
1
toʻgʻri burchakli uchburchakda
R
a
OC
C
B
tg
2
2
1
1
1



boʻlib, bunda
2
tg
R
2
a


(3) 
(3) va (2) dan 



2
2
2
R
2
tg
R
2
tg
R
2
2
1
S
2
OB
1
B




tenglikka ega boʻlamiz. Tashqi chizilgan koʻpbirchakning
yuzini 
n
S
deb belgilasak, u holda
n
tg
R
n
S
n

2


boʻladi. Agar n→∞ sa, bu koʻpburchakning yuzi unga ichki chizilgan doiraning
yuziga intiladi, ya’ni
2
2
2
lim
lim
lim
R
n
n
tg
R
n
nR
S
S
n
n
n
n
















,
2
R
S


boʻladi.
Quyida birinchi ajoyib limitdan foydalanib, silindr va konusning hajmlari 
formulalarini keltirib chiqarish mumkinligini koʻrsatamiz. 
𝛼 
𝑅 
𝐵
1
 
𝐵
2
 
𝐵
𝑛
 
𝐶
1
 
𝐵
𝑛−1
 
2-rasm 

---

377 
Teorema. Doiraviy konusning hajmi asosining yuzi bilan 
balandligi koʻpaytmasining uchdan biriga teng. ([1])
Isboti. Teoremani isbotlash uchun konusning asosidagi 
doirani 
n
ta teng boʻlaklarga boʻlamiz. U holda doiraning 
yuzini chegaralovchi aylana ham
n
ta teng boʻlaklarga 
boʻlinadi (3-rasm). 3-rasmdagi boʻlinish nuqtalarini
S
nuqta 
bilan tutashtirsak konusga ichki chizilgan muntazam 
n
burchakli piramidaga ega boʻlamiz. Bu piramidaning hajmi
V
n
V
n



. Bunda
V

, 
2
1
A
OA
S
-uchburchakli piramidaning 
hajmidan iborat.
n
h
R
h
n
OA
OA
h
S
V
A
OA


2
sin
6
2
sin
2
3
1
3
1
2
2
1
2
1










. 
Bundan
h
n
R
n
V
n
V
n







2
sin
6
2
kelib chiqadi. 
,
3
1
2
6
2
2
2
sin
lim
6
2
sin
6
lim
lim
2
2
2
2
h
R
h
R
n
n
h
R
h
n
R
n
V
V
n
n
n
n
k






















ya’ni izlangan konusning hajmi 
h
R
V
k
2
3
1


dan iborat.
Teorema. Doiraviy slindrning hajmi asosining yuzi bilan balandligi 
koʻpaytmasiga teng. ([1])
Isboti. Teoremani isbotlash uchun slindrning asoslaridagi doiralarni 
n
ta teng 
boʻlaklarga boʻlamiz (4-rasm). U holda doiralarning yuzlarini chegaralovchi aylanalar 
ham
n
ta teng boʻlaklarga boʻlinadi. Boʻlinish nuqtalarini oʻzaro mos nuqtalar bilan 
tutashtirsak, slindrga ichki chizilgan muntazam 
n
burchakli prizmaga ega boʻlamiz.
Bu prizmaning hajmi
*
V
n
V
n


boʻlib, bunda
*
V
, 
2
1
A
OA
S
-uchburchakli pirizmaning hajmidan iborat.
n
h
R
h
n
OA
OA
h
S
V
A
OA


2
sin
2
2
sin
2
2
2
1
*
2
1








. 
Bundan
h
n
R
n
V
n
V
n






2
sin
2
2
*
kelib chiqadi. U holda, 
,
2
2
2
2
2
sin
lim
2
2
sin
2
lim
lim
2
2
2
2
h
R
h
R
n
n
h
R
h
n
R
n
V
V
n
n
n
n
sl






















𝐴
2
𝐴
1
𝐴
𝑛
𝐴
𝑛−1
O 
ℎ 
𝑅 
𝐴′
2
Oʻ
𝑅 
4-rasm 
𝐴′
𝑛
𝐴′
𝑛−1
𝐴′
1
 
O 
𝐴
2
𝐴
1
𝐴
𝑛
𝐴
𝑛−1
3-rasm 
𝑅 
ℎ 
𝑆 

---

378 
h
R
V
sl
2


. 
Demak, biz birinchi ajoyib limit tushunchasidan foydalanib doiraning yuzi,
konus va silindrlarning hajmlari formulalarini osongina keltirib chiqardik.
 
Foydalanilgan adabiyotlar: 
1. Dodajonov N.D., Joʻraeva M.SH. Geometriya. I qism. -T.: Oʻqituvchi .1996. 
2. Toshpoʻlatov B.T. Oliy matematika -T.: Talqin. 2006. 
3. G. M. Fixtengol’s. Matematik analiz asoslari. 1-tom. -T.: Oʻqituvchi.1970. 
PSIXOLOGIK-PEDAGOGIK ADABIYOTLARDA MAKTABGACHA 
YOSHDAGI BOLALAR MATEMATIK TASAVVURLARNI 
RIVOJLANTIRISH MASALALARI 
 
Eshonqulova Masuda Xabibovna – Guliston DU 
Maktabgacha tarbiya yoshidagi bolalarda va boshlangich maktab yoshida 
elementar matematika tasavvurlarini taraqqiy ettirish muammolari ustida ilmiy ishlar 
olib borgan pedagoglardan: E.N.Tixeeva, Soraning sistema va qarashlarini tanqid qildi. 
Bolalarni aqliy tomondan tarbiyalashdа boshlang`ich matematik tushunchaga katta 
ahamiyat beradi. 
Tixeeva "bola bilimni hayotdan olishi kerak, hayotning oʻzi har qadamda
bolaning oldiga amaliy vazifalarni qoʻyadi, ya`ni oʻlchash, sanash, ayirishlar. Har bir 
normal bola kattalarning yordamisiz 10 gacha sanashni bilib oladi, deydi. Ayniqsa 
birinchi oʻnlik sonlarni bilib olishga katta ahamiyat beradi. U bolani sanashga 
oʻrgatishda majbur qilmaslik kerak, faqat unga koʻrgazmali, didaktik material berish 
kerak deydi. Maxsus material bilan birgalikda tabiiy materiallar tashlandiq materiallar 
berish kerak, deydi. Tixeeva birinchi boʻlib matematik tasavvurlarga oʻrgatish 
programmasini tuzishga urinib koʻradi. Son-sanoqqa oʻrgatishda oʻn ichida sanash, bir 
va koʻp tushunchasidan boshlab rahamlar bilan tanishtirishning soat bilan tanish 
masalalar echish, kasrlar bilan tanishtirishni kattalik va shakllar bilan tanishtirish 
koʻzda tutadi. Tixeeva sanamasdan sonlarni bir koʻrishda ilib olish metodini tavsiya 
etadi, ya`ni monografik metod asosida. 1915 yilda Tixeeva "Bog`chada son-cano?" 
kitobini yozadi. Uning qarashlari bir-biriga ziddir. Nazariyada bolalarning 
taraqqiyotiga aralashmaslik kerak desa, amalda esa tarbiyachining oʻyin va 
mashqlarida rahbarlik rollarini qoʻllab-quvvatlaydi. Son haqidagi tushuncha tug`ma 
deb, bolalarni maxsus mashg`ulotlarda sanashga oʻrgatishga yoʻl qoʻymaslik kerak, 
deydi. Shuning uchun son-sanoq metodikasini ishlab chiqmaydi, balki son-sanoqqa 
oʻrgatish dasturini belgilab chiqadi. Tixeeva didaktik va hayotiy materiallarning rolini 
koʻrsatdi, uni oʻrgatishda ketma-ketlik, sistemalilik, takroriylik printsipiga amal 
qilishni koʻrsatdi. Tixeevaning kamchiligi u oʻrgatishda asosiy metod faqat didaktik 
oʻyin metodi deb hisoblaydi. Lekin E.I. Tixeevaning didaktik oʻyinlari va didaktik 
materiallaridan foydalanish mumkin.

---

379 
F. N. BLIXER 
F.N.Blixer koʻp yillar bolalarda matematik tasavvurlarini oʻstirish masalalari 
ustida ishladi. U quyidagi kitoblarni yozdi:
"Bolalar bog`chasi va nulevoy gruppada matematika", "Didaktik oʻyinlar", "Birinchi 
sinfda qiziqarli oʻyinlar va mashqlar", 1932, 1934, 1938, 1945, 1958 yillardagi tarbiya 
dasturlarining matematikaga oʻrgatish boʻlimini ishlab chiqdi.
F.N.Blixer bolalarni sanashga oʻrgatish kerak emas, sharoit yaratish kerak deydi. 
U maxsus mashg`ulotlarni inkor etadi. Faqat tayyorlov gruppalardagina mashg`ulot 
oʻtkazish kerak, deydi. U koʻproq yakama-yakka yoʻl-yoʻlakay oʻrgatishni 
ma`qullaydi. Bu bilan u Tixeeva va SHlegerlarning fikrini quvvatlaydi. Blixer didaktik 
oʻyinlarga katta ahamiyat beradi. U juda qiziqarli didaktik oʻyinlarni ishlab chiqdi. 
Didaktik oʻyin bu oʻrgatishning eng asosiy metodi deydi. "Didaktik oʻyinlar" kitobida 
tarbiyachilarning ish tajribalaridan foydalanadi, lekin ilmiy asoslanmaydi. CHunki biz 
bilamizki bolalarni faqat maxsus mashg`ulotlardagina oʻrgatish mumkin.
Didaktik oʻyin esa asosiy metodlardan faqat bittasidir. Lekin u birdan bir metod 
boʻla olmaydi. U boshqa metodlar bilan birgalikda qoʻllaniladi. Shunday qilib, F.N. 
Blixer 30-40 yillar ichida bog`cha ishiga katta hissa qoʻshdi. Lekin hayot bir joyda 
turmaydi, oxirgi 50-60 yillar davomidagi ilmiy ishlarning natijalari bolalar bog`chasida 
elementar matematika tasavvurlarini ishini ilmiy asosda olib бориш imkonini berdi. 
Hozirgi vaqtda Blixerning didaktik oʻyinlaridan qisman foydalanish mumkin.
A. M. LEUSHINA 
A.M.Leushina oʻzining butun hayotiy faoliyati davomida maktabgacha tarbiya 
yoshidagi bolalarga sanoqni oʻrgatish masalalari boʻyicha ish olib bordi, Leushinaning 
pedagogik ishlari: Bolalarni bog`chada sanashga oʻrgatishga tayyorlash temasi 1959-
1961 yillardan boshlab bosilib chiqdi. "Bolalar bog`chasida sanoq mashg`uloti" 1963 
yilda bosilib chiqdi. Juda koʻp maqolalari "Doshkol`naya vospitaniya" jurnalida bosilib 
chiqardi. Pedagogika institutlari uchun "Maktabgacha tarbiya yoshdaги bolalarning 
elementar matematik tasavvurlarini shakllantirish" kitobi bosilib chiqdi. Leushina 
tomonidan 1962-63 yillardagi dasturda ham ishlab chiqarilgan. Leushina bolalarning 
elementar matematik tasavvurlarini oʻstirish boʻlimining avtori hisoblanadi. Leushina 
oʻzining keyingi 20-30 yillik faoliyatida bolalarni sanoq?a oʻrgatish masalalari 
boʻyicha ish olib bordi. U bolalarning matematik tasavvurlarni oʻstirish boʻyicha ish 
olib borayotgan pedagoglar va shu kafedra olimlariga rahbarlik qildi.
A.M. Leushina oʻzining ishlari asosida ilmiy tekshirish eksperemental ishlari 
shu temadagi psixologlarning tekshirishi, bolalarni yaxshi tarbiyalash ilmiy 
tekshirishlar, bolalarni maktabga tayyorlashda yordam beradi. A.M.Leushina 
ishlarining asosiy tanqidi boʻlarni oʻzining metodida isbotlaydi.
Bundan 30-40 yil oldin psixolog va pedagoglarimiz elementar matematikaning 
vaqt, tevarak-atrof, shakl boʻlimlari ustida ishlash imkoniyatiga ega boʻldilar. Bu 
albatta juda ham kech edi. 1969-70 yillardagi programmaga birinchi boʻlib matematik 
tasavvurlarning boshqaboʻlimlari ya`ni vaqt, tevarak atrof, kattalik, shakl boʻlimlari 
kiritildi. A.M.Leushina sanoq boʻlimi boʻyicha ikkinchi kichik gruppadан boshlab 
haftada 1 marta maktabga tayyorlov gruppada, haftasiga 2 marta maxsus mashg`ulotlar 
oʻtkazishni taklif qildi. Uning taklifiga binoan bunday mashg`ulotlar 1970 yildan 
boshlab oʻtila boshladi.

---

380 
Uning xizmatlari evaziga pedagogika institutlari va pedagogika bilim yurtlarida 
matematika kurslari uzaytirilgan. U oxirgi 20-30 yillar davomida bolalarni sanoqqa 
oʻrgatish masalasi boʻyicha ish olib borgani uchun matematik tasavvurlarining boshqa 
masalalari boʻyicha ish olib borolmaydi. Lekin shunga qaramay 1968 yilda bolalar 
bog`chasi tarbiya programmasining sanoq boʻlimi u tomonidan ishlab chiqildi.
A.M.Leushinaning 1963 yilda chiqqan "Bolalar bog`chasida sanoq boʻyicha 
mashg`ulotlar" asari bolalar bog`chasining oʻzida oʻtkazilgan ilmiy tadqiqot ishlari 
qoʻlyozma boʻyicha yozilgandir. Olimlar va psixologlar elementar matematika 
boʻyicha bir qancha ishlar olib bormoqdalar. A.M.Leushina bolalarni son-sanoqqa 
oʻrgatishni ilmiy metodga asoslab yangidan tuzdi. Sanoqqa oʻrgatish aqliy vazifalar 
asosida tuzildi.
Bosqichma-bosqich oʻrgatildi. Koʻpliklar bilan tanishtirish, sonlar bilan 
tanishtirish, miqdor son, tartib son, sonlarni birliklardan iborat tarkibiy miqdori bilan 
tanishtirish, 5 ni 2 kichik songa ajratish, kichик sondan 5 sonini hosil qilishga oʻrgatish, 
sonlar oʻrtasidagi munosabatlarni tushunish arifmetik masalalar echish, ikki toʻplamni 
taqqoslash, ular oʻrtasidagi tenglik va notenglikni aniqlashga oʻrgatish.
A.M.Leushinaning xizmatlari yana shundaki, u analizator yordamida sanashga 
oʻrgatishning xilma-xil mashqlarini ishlab chiqdi.
50-90 yillarda Oʻzbekistondagi bolalar bog`chalari elementar matematik 
tasavvurlarni shakllantirish metodikasi asoslari rivojlanishi boʻyicha koʻpgina 
pedagoglar ish olib bordilar. Jumladan: Bikbaeva H.U. 1973 yildan boshlab, Rossiyalik 
pedagoglar, Leushina A.M., Stolyar A.A., Metlinalarning ishlarini koʻrib chiqib, 
ularning hammasi bizning Oʻzbekiston bolalar bog`chalariga toʻg`ri kelmasligini 
isbotlaydi yangi dastur yaratdi.
Metodistlar Qosimova X.I., Ibroximova Z.I lar bilan birgalikda 1995 yili 
"Maktabgacha yoshdagи bolalarda matematik tasavvurlarni, shakllantirish" mavzusida 
Oʻrta va Oliy pedagogika bilim yurtlari uchun oʻquv qoʻllanma tayyorlandi.
M.Jumayev, Bikbaeva N.U. Qosimova X.I. bilan birgalikda "Maktabgacha tarbiya 
yoshidagi bolalarda elementar matematik tasavvurlarni shakllantirish asoslari va 
metodikasi" kursi boʻyicha dastur, Respublikadagi pedagogika Oliy oʻquv yurtlari 
uchun tayyorlandi. Bolalar bog`chalarining turli yosh guruhlari uchun qoʻllanma 
tayyorlangan.