Гязянфяр рцстямов автоматик

 

6.11. Гейри-хятти системлярин дайаныглыьы. Ясас анлайышлар  

 

Дайаныглыг нязярийясинин баниси рус рийазиййатчысы А.М.Лйапунов щесаб 

олунур. О, 1892-ъи илдя йаздыьы 



Щярякятин дайаныглыьы щаггында цмуми 

мясяля



  ясяриндя  хяттиляшдирилмиш  вя  гейри-хятти  системляр  цчцн 

мясялянин гойулушуну вя ясас анлайышлары вермишдир. 

Дайаныглыг  системин  вя  йа  обйектин  мяхсуси  (дахили)  хцсусиййяти  олуб 

хариъи  гцввялярин  типиндян  асылы  дейил.  Бу  сябябдян  дайаныглыьы  тядгиг 

етдикдя  системя  тясир  едян  гцввяляри  сыфыра  бярабяр  эютцрцб  онун  сыфыр 

олмайан  башланьыъ  шяртляринин  тясири  алтында  сярбяст  щярякятини  тядгиг 

едирляр. 

Дайаныглыг хариъи гцввялярин тясири кясилдикдян сонра системин юз яввялки 

таразлыг вязиййятиня гайытмаг габилиййяти иля характеризя олунур. Адятян 

таразлыг  вязиййяти  кими 

0



x

  координат  башланьыъыны  эютцрцрляр. 

Координат  башланьыъы  иля  цст-цстя  дцшмяйян  таразлыг  нюгтялярини  тядгиг 

етдикдя  дяйишянляри  явяз  едяряк  координат  башланьыъыны  бу  нюгтяйя 

сцрцшдцрцб мясяляни йеня тривиал 

0



x

 щяллинин тядгигиня эятирмяк олар. 

Гейри-хятти системлярдя чохлу таразлыг нюгтяляри олдуьундан вя бунларын 

ятрафында  сепаратрисалар  (айырыъы  трайекторийалар)  иля  бир-бириндян  айрылан 

дайаныглыг  вя  дайаныгсызлыг  областлары  мювъуд  олдуьундан  систем 

истянилян областдан, йяни башланьыъ вязиййятдян 

0



x

 нюгтясиня йахынла-

ша  билмир.  Ады  чякилян  дайаныглыг  областлары  ъязболунма  областлары  

адланыр.  

Реал  системдя 

0



x

  таразлыг    нюгтясини  ящатя  едян  Б  ъязболунма 

областынын юлчцсц мцхтялиф ола биляр. 

n

R

B



оларса, йяни бцтцн вязиййят 

фязасы ъязболунма областы оларса, башга сюзля, систем истянилян 

n

0

R



х

 

башланьыъ  вязиййятиндян 

0



x

  таразлыг    нюгтясиня  мцяййян  хята  (

с



 

109 

 

статик  хятасы)  дахилиндя  йахынлашарса,  беля  системляр  бцтюалцкдя  вя  йа 

глобал дайаныглы системляр адланыр. Яэяр йахынлашма сонсуз 





t

вахта 

баш  верирся,  систем  бцтюалцкдя  асимптотик  дайаныглы  систем  адланыр. 

Асимптотик  дайаныглыг  хятти  вя  бунлара  йахын  олан  бязи  тип  гейри-хятти 

системляря хасдыр. Беля гейри-хятти системляр мцтяляг дайаныглы системляр 

адланыр.   

Хятти системлярдя 

0



x

 нюгтяси йеэаня таразлыг вязиййяти олдуьундан вя 

фаза  трайекторийаларынын  характери,  йяни  хцсуси  нюгтянин  типи  (бах, §6.5), 

бцтцн  вязиййят  фязасында  дяйишмядийиндян  системин  щяр  щансы  бир 

башланьыъ 

B

0



х

  вязиййяти  цчцн  дайаныглы 

олмасы  цмумиййятля,  йяни  бцтювлцкдя  да-

йаныглы  олмасы  демякдир.  Бу  щалда 

B

0



х

 

шяртиндян 

n

0

R



х

 шярти алыныр.     

Шякил  6.78-дя  бцтювлцкдя  дайаныглы 

системин механики аналоэийасы эюстярилмишдир. 

0

А  таразлыг нюгтясидир. 

Гейри-хятти  системлярдя  дайаныглыьын  тядгиги  мцяййян  чятинликлярля 

ялагядардыр. Бунун ясас сябляри ашаьыдакылардыр: 

1. Гейри-хятти  системлярдя  хятти  системляря  хас  олан  суперпозисийа 

принсипинин  юдянилмямяси  вя  бу  сябябдян  сярбяст  щярякятин  мяъбури 

щярякятдян айырмаьын мцмкцн олмамасы. 

2. Чохлу  (бир  нечя)  локал  дайаныглыг  вя  дайаныгсызлыг  областларынын 

мювъуд  олмасы  сябябиндян  бцтювлцкдя  дайаныглыг  шяртинин  юдянилмя-

мяси. Башга сюзля, дайаныглыьын башланьыъ шяртлярдян асылы олмамасы.  

3. Дайаныглыьын тянлийя ямсаллар шяклиндя дахил олмасы сябябиндян хариъи 

гцввялярин  (идаря  вя  щяйяъанландырыъы  тясирляр)  дяйишмя  интервалындан 

асылы олмасы. Фярз едяк ки, биринъи тяртиб гейри-хятти обйектин тянлийи: 

 

 

)

t

(

1

)

t

(

u

a

)

t

(

x

x







, 

0

a



.  

Эюрцндцйц кими, идаря тясири  x  дяйишянинин ямсалына дахилдир. 

0

u



 

гиймятиндя  дайаныглы 

0

a





x

x

, 

1

u



  гиймятиндя 





)

t

(

x

 

дайаныгсыз, 

0

u



 гиймятиндя ися ямсал мцсбят олдуьундан йеня 

дайаныгсыз просес алыныр. 

 

         Шякил 6.78 

110 

 

4. Мцряккяб таразлыг нюгтяляринин мювъудлуьу (бах, §6.5). 

5. Хятти  системлярдян  фярглянян  авторягс  вя  сцрцшян  режимлярин  мюв-

ъудлуьу. Бу щалда орбитал дайаныглыг  (бах, §6.6) вя сцрцшян режимин 

дайаныглыьы анлайышларындан истифадя олунур. 

6. Нящайят,  гейри-хятти  системлярин  аналитик  тядгигинин  онларын 

тянликляринин  аналитик  щялляринин  адятян  олмамасы  нятиъясиндя 

мцмкцн олмамасы вя с. 

Китабда  бахаъаьымыз  А.М.Лйапунов  вя  В.М.Поповун  да-

йаныглыг мясяляляринин гойулушу Б ъязболунма областынын юлчцля-

ринин  тяйин  олунмасыны  нязярдя  тутмур.  Бу  мясяля 

0



x

 таразлыг  

нюгтясинин  дайаныглыг  фактынын  габагъадан  мялум  олмайан  Б  областы 

цчцн ашкар едилмясиндян даща мцряккябдир. Б областынын юлчцляри мялум 

олмадыьындан  бязи  цсулларда  зяманят  цчцн 

0



x

  таразлыг    нюгтясинин 





||

||

0

x

 шярти иля мящдуд олан кичик ятрафыны тядгиг едирляр, бурада 



 кифайят гядяр кичик кямиййят ола биляр. Беля цсуллар кичикликдя 

вя йа локал дайаныглыьын тядгиг цсуллары адланыр. Гейд едяк ки, бу 

анлайышлар  системин  юзцня  дейил,  йалныз  тядгигат  цсулуна  аиддир. 

Мясялян,  Лйапуновун  биринъи  цсулу  кичикликдя  дайаныглыьы  тяйин 

едян  цсула  аид  олмасына  бахмайараг,  онун  кюмяйи  иля 

бцтювлцкдя дайаныглы вя йа дайаныгсыз  олан хятти системлярин дя 

дайаныглыьыны  тяйин  етмяк  мцмкцндцр.  Лйапуновун  биринъи 

цсулунун  йохланылмасы  диференсиал  тянлийин  щялл  олунмасыны  тяляб 

етдийиндян  ясасян  гейри-хятти  системляр  цчцн  конструктив  сайыла 

билмяз. 

Ъязболунма 

n

R

B



областынын  юлчцлярини  щяр  щансы  формада  якс 

етдирян  вя  йа  системин  бу  областын  дахилиндя  вя  йа  хариъиндя 

олмасыны  тяйин  етмяйя  имкан  верян  цсуллар  практики  мясялялярин 

щяллиндя даща ящямиййятлидир. Адятян беля йсцллар диференсиал тян-

лийин  щяллини  тяляб  етмяйиб  ъязболунма  областында  йерляшян 

трайекторийаларын щяр щансы бир фундаментал хцсцсиййятиня ясасла-

ныр.  Мисал  цчцн,  автоном  (хариъдян  енержи  алмайан,  йяни  хариъи 

тясирляря мяруз галмайан) системин енержисинин ъязболунма облас-

тында йерляшян трайекторийа цзря монотон азалмасы яламяти вя с. 

Яэяр мящдуд Б областындан башлайан бцтцн трайекторийалар 

0



x

 

нюгтясиня  йахынлашырса,  беля  дайаныглыг  бюйцклцкдя  дайаныглыг  адланыр. 

111 

 

Бу анлайыш да тядгигат цсулуна аиддир.  

Бир  нечя  таразлыг  вя  тябии  ки,  бу  сайда  да  дайаныглыг  вя 

дайаныгсызлыг оюластларына малик олан гейри-хятти системляр бюйцк-

лцкдя дайаныглы вя йа бцтювлцкдя дайаныгсыз системляр адландырыла 

билярляр. Яэяр 

n

R

B



 оларса, яввялдя гейд едилдийи кими, систем бцтюв-

лцкдя дайаныглы систем адланыр. Беляликля, 



кичикликдя



 дайаныглыг йалныз 

тядгигат  цсулуна, 



бюйцклцкдя



  вя 



бцтювлцкдя



 дайаныглыг анлайышлары ися 

физики обйектляря дя аид ола биляр.                      

Бюйцклцкдя вя бцтювлцкдя дайаныглыг 

Лйапуновун  икинъи  цсулу  васитяси  иля 

тядгиг олунур. 

Шякил  6.79-да  кичикликдя  вя 

бюйцклцкдя  дайаныглыьы  якс  етди-

рян  механики  аналог  эюстярилмиш-

дир. 

 

 

6.12.  Гейри-хятти  системлярин  дайаныглыьынын  биринъи  йахынлашма 

тянлийи ясасында тяйини  

 

Таразлыг  нюгтясинин  кичик  ятрафында  гейри-хятти  системлярин  щярякят 

хцсусиййятляри  хятти  системлярин  щярякят  хцсусиййятляриня  йахындыр.  Бу 

сябябдян гейри-хятти системин тянлийини таразлыг нюгтясинин кичик ятрафында 

хяттиляшдириб,  алынмыш  хятти  системин  дайаныглыьыны  тядгиг  едирляр.  Сонра 

алынмыш нятиъяляр илкин гейри-хятти системя тятбиг олунур.     

Биринъи йахынлашма тянлийи. Фярз едяк ки, тянзимлямя системинин вя йа 

обйектинин  йазылышы  ашаьыдакы  гейри-хятти  диференсиал  тянликляр  системи 

шяклиндя верилмишдир: 

 

      

)

,

,

,

(

f

dt

d

n

2

1

i

i

x

x

x

x





 , 

n

,

1

i



 

(6.93) 

Бурада   

i

x



  вязиййят  дяйишянляридир.  Гейри-хятти  функсийалар 

 

 

             Шякил 6.79 

112 

 

0

i



x

 гиймятиндя 

0

)

0

(

f

i



 шяртини юдямялидир. Бу о демякдир ки, 

(6.93)  системинин  таразлыг  вязиййяти 

0



x

  координат  башланьыъын-

дадыр.  Башга  таразлыг  вязиййятлярини  тядгиг  етдикдя 

s

i

i

i

z

x

x





 

явязлямяси  етмякля  координат  охларыны 

s

i

x

  таразлыг нюгтясиня  па-

ралел  сцрцшдцрцб  мясяляни  йеня  сыфырда  олан  таразлыг  нюгтясинин 

тядгигиня эятирмяк олар. 

Фярз  олунур  ки, 

)

,

,

,

(

f

n

2

1

i

x

x

x



  функсийалары  щяр  щансы 

H

||

||



x

 

областында  кясилмяз  хцсуси  тюрямяляря  маликдир. 





H

  оларса, 

бахылан (6.93) динамик системи  бцтювлцкдя дайаныглы систем адла-

ныр. 

Гейри-хятти 

)

,

,

,

(

f

n

2

1

i

x

x

x



 функсийаларыны 

0



x

 таразлыг нюгтясинин 

кичик ятрафында Тейлор сырасына айыраг: 

   

)

,

,

,

(

a

)

,

,

,

(

f

n

2

1

i

n

1

j

j

ij

n

2

1

i

x

x

x

x

x

x

x















, 

n

,

1

i



  

(6.94) 

Бурада 

0

)

,

,

,

(

f

a

j

n

2

1

i

ij









x

x

x

x

x





 сабит ямсаллардыр. 

(6.95) 

Галыг щядди ашаьыдакы шярти юдямялидир: 

         

 

0

||

||

)

(

lim

i

0

||

||







x

x

x

. 

Бурада 

||

|| x



 Евклид нормасыдыр. 

Ифадя  (6.94)-ц  илкин  (6.93)  тянлийиндя  йериня  йазсаг,  вектор 

формасында аларыг: 

 

 

)

(

dt

d

x

Ax

x







 . 

Бурада  

т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x





x



 вязиййят вектору; 

               

)

a

(

ij



А

, 

n

,

1

j

,

i



 



 н юлчцлц квадрат матрисдир.  

Бу тянлийин хятти щиссяси 

113 

 

 

 

Ax

x



dt

d

 

(6.96) 

гейри-хятти  системин  биринъи  йахынлашма  тянлийи  адланыр.  Бурада 

)

a

(

ij



А

 елементляри (6.95) ясасында тяйин олунан сабит матрисдир. 

Бязи  щалларда  (6.93)  гейри-хятти  системинин  тривиал  (йяни 

0



x

 

щялли)  щяллинин  дайаныглыьы  щаггында  биринъи  йахынлашма  тянлийиня 

ясасян мцщакимя йцрцтмяк олар. 

Теорем 1.  Яэяр  (6.96)  системинин 

0

)

det(







A

I

  характеристик 

тянлийинин  бцтцн  кюкляринин  щягиги  щиссяляри  мянфи  ядядлярдирся, 

йяни 

0

Re

i





,  онда  (6.93)  гейри-хятти  системинин  тривиал  щялли 

Лйапунова эюря асимптотик дайаныглыдыр.  

Башга  сюзля,  (6.93)  системинин 

0



x

  таразлыг  нюгтяси  дайаныглы 

таразлыг вязиййятидир. 

Яэяр  кюкляр  ичярисиндя  сыфыр  вя  йа  сырф  хяйали  кюкляр  мювъуд 

оларса,  биринъи  йахынлашма  тянлийиня  ясасян  мцщакимя  йцрцтмяк 

олмаз. Бу щалда дайаныглыг гейри-хятти 

)

(x



 галыг щяддиндян асылы 

олур. 

Бязи цмумиляшдирмяляр апараг. 

1. Кюкляр  теоремин  шяртини  юдяйирся,  йяни 

0

Re

i





,  онда 

0



x

 

тривиал щялли дайаныглыдыр. 

2. Яэяр кюклярдян бязиляри сыфыр, галанларынын ися щягиги щиссяляри 

мянфидирся,  онда  систем  нейтрал  систем  (дайаныглыг  сярщядди) 

адланыр.  Сыфырдан  фяргли  кюкляр  щягиги  оларса,  систем  апериодик, 

комплекс-гошма  кюкляр  оларса 



  рягси  дайаныглыг  сярщяддиндя 

олур. 

Мисал  цчцн, 

2

1

x

x





,

2

2

x

x







  системинин  характеристик  тянлийи 

0

)

1

(









  олдуьундан 

0

1





,

1

2







.  Бу  сябябдян  систем 

апериодик  дайаныглыг  сярщяддиндядир.  Системин  фаза  портрети  шякил 

6.18, б-йя уйьундур. 

3. Яэяр  кюкляр  ичярисиндя  щеч  олмазса  бир  кюк  мцсбят  щягиги 

щиссяйя малик оларса, беля систем дайаныгсыздыр. 

Мисал 6.11. Ашаьыдакы системин дайаныглыьыны йохлайын. 

114 

 

 

 

.

dt

d

,

2

)

1

(

dt

d

2

1

2

2

2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x













 

(6.97) 

Яввялъя  таразлыг  нюгтяляринин  координатларыны  стасионарлыг  шяртин-

дян тапаг:  

 

0

2

2

1

3

1







x

x

x

,  

0

2

1





x

x

. 

Бу тянликляр системинин щялли: 

 

0

1

1



x

,

0

1

2



x

;  

1

2

1



x

,

1

2

2





x

;  

1

3

1





x

,

1

3

2



x

. 

Биринъи 

)

0

;

0

(

О

  таразлыг  нюгтясиня  уйьун  эялян  йахынлашма 

тянлийини гурмаг цчцн А матрисинин ямсалларыны щесаблайаг:  

 

2

2

1

1

1

2

)

1

(

f

x

x

x









, 

2

1

2

f

x

x





 

олдуьундан (6.95) ифадясиня ясасян: 

 

1

0

2

1

f

a

1

1

1

1

11



















x

x

x

; 

2

f

a

1

2

12











x

. 

 

1

f

a

1

2

21









x

,  

1

f

a

2

2

22









x

. 

    



















1

  

   

2

1

1

A

 олдуьундан характеристик тянлик 

0

1

)

1

)(

1

(

1

1

det

)

det(

2



















































1

 

   

2

A

I

. 

Кюкляр 

j

2

,

1







.  Бу  щалда 

0

Re

2

,

1





  олдуьундан  теорем  1-ин 

шярти юдянилмир. Бу сябябдян биринъи йахынлашма тянлийиня ясасян 

)

0

;

0

(

О

  таразлыг  нюгтясинин  дайаныглы  олуб-олмамасы  щаггында 

фикир сюйлямяк мцмкцн дейил. 

  Икинъи 

)

1

;

1

(

B



  таразлыг  нюгтяси  сыфырдан  фяргляндийиндян  коор-

динат башланьыъыны бу нюгтяйя сцрцшдцрмяк лазымдыр. Бу мягсяд-

ля 

1

z

1

2

1

1

1









x

x

x

 вя 

1

z

2

2

2

2

2









x

x

x

. Бурадан 

1

z

1

1





x

, 

115 

 

1

z

2

2





x

  тапыб  (6.97)  тянлийиндя  йериня  йазсаг,  системин  йени 

дяйишянлярдя тянлийини аларыг:  

 

 

.

z

z

dt

dz

,

z

2

)

4

z

3

(z

z

dt

dz

2

1

2

2

1

2

1

1

1















 

 

Таразлыг 

)

0

;

0

(

 нюгтясиня уйьун эялян биринъи йахынлашма тянлийи: 

 

 

.

z

z

dt

dz

,

z

2

z

4

dt

dz

2

1

2

2

1

1











 

Уйьун  характеристик  тянлик 

0

2

3

2











.  Кюкляр: 

56

.

0

1





, 

56

.

3

2







. 

0

Re

1





  олдуьундан 

)

1

;

1

(

В



  таразлыг  вязиййяти 

дайаныгсыздыр. 

  Цчцнъц 

)

1

;

1

(

С



  таразлыг  нюгтяси  дя  сыфырдан  фяргляндийиндян 

координат  башланьыъыны  бу  нюгтяйя  сцрцшдцрмяк  лазымдыр.  Бу 

щалда 

1

z

1

3

1

1

1









x

x

x

,

1

z

2

3

2

2

2









x

x

x

.  Йухарыдакы  ямялий-

йатлары  йериня  йетирсяк  эюрярик  ки,  бу  щал  да  икинъи  иля  цст-цстя 

дцшцр. Демяли, Ъ нюгтяси дя дайаныгсыздыр. 

Системин фаза портрети шякил 6.80-дя эюстярилмишдир. 

Эюрцндцйц  кими,  B,  C 



йящяр



,  О  ися 



мяркяз



  типли  таразлыг 

нюгтяляридир.