Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Лекция №1


НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.
Особенности нелинейных систем. Статические характеристики нелинейных систем. Метод фазового пространства. Фазовые траектории для обыкновенных линейных систем. Анализ устойчивости нелинейных систем на основе метода Ляпунова. Критерий абсолютной устойчивости В.М.Попова. Метод гармонического баланса.


Особенности нелинейных систем.
Статические характеристики нелинейных систем.

Нелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые – в виде нелинейных дифференциальных уравнений.
Часто при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования удается выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами
x₂ = F(x₁), (1.1)
которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда, как будет показано в следующих параграфах, не удается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости вида
х₂ = F(х₁, рх₁), х₂ = F₁(x₁) + F₂(px₂), (1.2)
F(рх₂, х₂) = c₁x₁, F₁(p²x₂, px₂) + F₂(x₂) = c₁x₁ и т. п. (1.3)
Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной функции раздельно;
F₂(рх₂, х₂) = F₁(x₁), F₃(px₂) + F₂(x₂) = F₁(x₁), (1.4)
или же вместе:
F(рх₂, х₂, x₁) = 0, F₂(х₂) + F₁(х₂, х₄) = 0. (1.5)
Процессы в нелинейных системах автоматического регулирования имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах.
Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости системы становится здесь более сложным. Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение здесь, в отличие от линейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса – автоколебания, т.е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий. Когда в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению регулируемой величины, часто становится невозможным.

Рис. 1.1.

Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины; 2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным случаям.

Если процессы в системе имеют вид, указанный на рис. 1.1,а, то равновесное состояние (х = 0) неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рис. 1.1,а колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.
На рис. 1.1, б и в показаны случаи, когда равновесное состояние (х = 0} системы устойчиво «в малом», т. е. при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», т. е. при начальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величины а. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от него в обе стороны).
На рис. 1.1,г показан случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесное состояние (х = 0), 2) колебания с постоянной амплитудой а₁, 3) колебания с постоянной амплитудой а₂. При этом колебания с амплитудой a₁ неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию х = 0, а «в большом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а₂.