O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti

 

1 

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM 

VAZIRLIGI 

 

 

 

SAMARQAND IQTISODIYOT VA SERVIS INSTITUTI 

 

 

 

 

 

                                                                    Institut o’quv-uslubiy 

                                                         Kengashida  tasdiqlangan 

                                                        (12-bayonnoma,10.07.2013y). 

 

 

 

 

 

 

O L I Y  M A T E M A T I K A 

fanidan 

5340200 Menejment ta’lim yo’nalishi talabalari mustaqil ta’limi 

uchun  

 

U S L U B I Y    Q O’LLANMA 

  

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

Samarqand  - 2013 

 

 

 

 

 

 

2 

Uslubiy qo’llanma,  5340200 Menejment ta’lim yo’nalishi bakalavrlar   mustaqil 

ta’limi uchun mo’ljallangan bo’lib, unda mustaqil ta’lim  bo’yicha umumiy 

tushunchalar, harbir mavzuga ajratilgan soatlar, mavzu rejasi va tavsiya etilgan 

adabiyotlar ro’yxati hamda rejadagi savollarga qisman javoblar keltirilgan.

 

 

 

 

Tuzuvchi: dosent Begmatov A. B.   

 

 

Taqrizchi: UmarovT.I  dosent, Samarqand iqtisodiyot va servis instituti. 

 

 

 

 

Uslubiy ko’rsatma, Oliy matematika kafedrasi majlisida muhokama etilgan va 

tasdiqlash uchun tavsiya qilingan(3-son bayonnoma 22 noyabr  2013 yil). 

 

 

 

 

 

 

 

 

               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Samarqand iqtisodiyot va servis instituti, A.B. Begmatov. 2013. 

 

 

 

 

3 

Mustaqil ta’lim bo’yicha uslubiy ko’rsatmalar 

 

Umumiy tushunchalar. Ma’lumki, fan va texnikani, texnologiyani, iqtisodni 

rivojlantirish asosida kadrlarning umumiy malakasi yotadi. 

      Keyingi yillarda kadrlar tayyorlashning o’quv jarayonida talabalar mustaqil 

ta’limiga ham katta e’tibor berilmoqda. Mustaqil ta’lim fanlar bo’yicha,  o’quv 

rejasiga kiritilgan.  

     

Talabalar  mustaqil  ta’limi  –  egallangan  bilimlarni  takomillashtirish, 

bilimlarni kengaytirish hamda chuqurlashtirish va aniq bir maqsadga 

yo’naltirilgan bo’lib, natijada yangi malaka va mahoratlarni hosil qilishga 

qaratilgan o’quv mehnatidir. 

      

Mustaqil  ta’limning  asosiy  maqsadi-talabaning  shaxsiy  va  professional 

sifat darajasini yuksaltirishdir. 

      

Mustaqil  talimning  asosiy  usullaridan  biri  adabiyotlar  bilan  mustaqil 

ishlashdir. Bunda, talaba axborotlar oqimida o’ziga xos yo’nalishni aniqlash, 

kerakli ma’lumotlarni tanlash, uni boshqalari bilan solishtirish hamda bu 

ma’lumotlarni o’z professional faoliyatida qo’llashdir. 

      Bundan tashqari mustaqil ta’limning, amaliy masalalarni mustaqil yechish, 

audiokuzatish hamda muloqat(aloqa,munosabat) usullari ham qo’llaniladi. 

      Shunday qilib, mustaqil ta’limning oxirgi ko’rsatkichi, ko’p qirrali ijodiy 

izlanishga yo’naltirilgan bo’lib,  talaba uzluksiz mukammallanishga intilishni 

anglashi lozim. 

      Uslubiy ko’rsatmada harbir mavzudagi savollarni shunday tuzishga harakat 

qilindiki, natijada talabada mustaqil ta’limga ehtiyoj shakillanib, rivojlanish 

yuz bersin. 

      Talabaning mustaqil ta’limini tashkil etishda ,,Oliy matematika’’  fanining 

maqsad va vazifalari, fanning xususiyati, uning o’quv dasturidagi o’rni, 

talabalarning shaxsiy moyillari, qiziqishlari hisobga olinadi. Mavjud talablarga 

asosan uslubiy ko’rsatmani tuzishda ushbu jihatlarga e’tibor qaratildi: 

1) mustaqil ta’lim bajariladigan mavzu va u  necha soatga mo’ljallanganligi; 

2) mavzu bo’yicha reja savollarida:  

a) boshlang’ich savollarda ko’pincha talaba bilishi lozim bo’lgan asosiy 

tushunchalar;  

b) keyingi savolda shu tushunchalarni ma’lum darajada ijodiy (adabiyotlardan 

foydalanilgan  holda kengroq) o’rganish; 

 c) natijada iqtisodiyot masalalarini modellashtirish va tahlil qilishga hamda 

ijodiy izlanishga o’tish; 

3) adabiyotlar qismida, institut kutubxonasida mavjud bo’lgan boshlang’ich 

manbalar ko’rsatildi, bu manbalarni o’rganish jarayonida, talaba boshqa 

adabiyotlarga o’tish kerakligi, qiziqishning davom etishini o’zi payqab qolishi 

imkoniyatini yaratishga harakat qilindi. 

Mustaqil ta’lim bo’yicha o’rganilgan mavzularning ma’nosi  qisqacha umumiy 

daftarga yozib boriladi.  Talabaning mustaqil ta’limi bo’yicha hisobotlar to’plami 

har semestrda yakuniy nazorat topshirgan paytda kafedrada ro’yxatga olinadi. 

 

4 

    Talabalar mustaqil ta’limini nazorat qilish o’quv mashg’ulotlarini bevosita olib 

boruvchi o’qituvchi tomonidan amalga oshiriladi. Talabaning mustaqil ta’lim 

bo’yicha bajargan ishini, baholash nizomda ko’rsatilgandek reyting ballari bilan 

baholanadi va natijasi  fan bo’yicha talabaning umumiy reytinggiga kiritiladi. 

                           

Mustaqil ta’lim   

mavzulari va ularga ajratilgan soatlar 

1-semestr 

 

1-  mavzu. Vektorlar (10 soat) 

Reja 

1. Vektorlar haqida asosiy tushunchalar. 

2. Vektorlar ustida chiziqli amallar.  

3. Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi va uning xossalari. 

4.  Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi.

  

5. Ikki vektorning vektor ko‘paytmasi.

  

6. Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi. 

7. Vektorning uzunligi va vektorlar orasidagi burchak hamda nuqtalar 

orasidagi masofa. 

8. Koshi-Bunyakovskiy va uchburchak tengsizliklari. 

 

Tavsiya etilgan adabiyotlar: 

1.  Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992.-496b. 

2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 

2007.-302b. 

3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamKI. 

2001. -268b. 

4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar 

matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b. 

Tayanch ibora va tushunchalar 

Skalyar,  vektor,  collinear,  komplanar  va  o‘zaro  teng  vektorlar,  no‘l  vector, 

ortogonal  vektorlar,  birlik  vector,  ortonormal vektorlar, ustida chiziqli amallar, 

vektorning o‘qdagi proyeksiyasi, chiziqli bog‘langan va chiziqli bog‘lanmagan 

vektorlar, bazis (asos) vektorning bazis orqali yoyilmasi, skalyar ko‘paytma, o‘rin 

almashtirish qonuni, vektorning uzunligi, assotsiativlik , distributivlik, ikki vektor 

orasidagi burchak, yo‘naltiruvchi kosinuslar, antikommutativ, 

 

1. Vektorlar haqida asosiy tushunchalar. Faqat son qiymat bilan aniqlanadigan 

kattaliklarga   skalyar kattaliklar yoki skalyarlar deyiladi. Masalan: uzunlik, yuza, 

hajm, massa, zichlik va boshqalar.Bunday kattaliklardan tashqari shunday kattaliklar 

 

5 

ham uchraydiki ularni ifodalash uchun uning son qiymati yetarli bo‘lmaydi. Son 

qiymatidan tashqari, yana yo‘nalishga ham ega bo‘lgan kattaliklarga  vektor 

kattaliklar yoki vektorlar deyiladi. Masalan: kuch, tezlik, tezlanish, magnit 

maydonining kuchlanganligi va bosho‘alar. 

Vektor kattalik geometrik tomondan yo‘naltirilgan kesma (1- chizma) 

V

A

  bilan 

ifodalanadi. 

 

 

              

 

            

                                                                            

 

 

   

                     1-chizma    

 

     2- chizma  

Bunda A nuqta vektorning boshi, V nuqta esa uning oxiri deb qaraladi. Vektor 

B

A

 

yoki bitta harf 

a

 bilan ham belgilanadi. Vektorning moduli (uzunligi) 

AB

 yoki 

a

v

 

bilan belgilanadi.  

Bir to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan vektorlarga kollinear vektorlar deyiladi.  

          Bir tekislikka parallel bo‘lgan vektorlarga komplanar vektorlar deyiladi.  

Ikki 

a

 va 

b

 vektorlar: 1) teng uzunlikka, 2) o‘zaro kollinear, 3) bir tomonga 

yo‘nalgan bo‘lsa, ular o‘zaro teng deyiladi (2-chizma) va 

a

=

b

 bilan belgilanadi. 

 Vektorning boshi va oxiri usma-ust tushsa unga no‘l vektor deyiladi va 

O

 

bilan belgilanadi. No‘l vektorning uzunligi 0 ga teng. No‘l vektor yo‘nalishga ega 

emas.  

Ikkita 

a

 va 

b

 vektorlar orasidagi burchak deb ularning yo‘nalishlari orasidagi 

eng kichik burchakka aytiladi va 

b

a

Ù

 bilan belgilanadi. 

Ikki vektorlar o‘zaro perpendikulyar bo‘lsa ularga ortogonal  vektorlar 

deyiladi. 

Uzunligi bir birlikka teng bo‘lgan vektorga birlik vektor deyiladi. 

O‘zaro ortogonal birlik vektorlarga ortonormal vektorlar deyiladi. 

2. Vektorlar  ustida chiziqli amallar. Vektorni songa (skalyarga) ko‘paytirish, 

vektorlarni qo‘shishga vektorlar ustida chiziqli amallar deyiladi. a) 

a

  vektorning 

biror 

l

 songa ko‘paytmasi deb, uzunligi 

l

 

a

 ga teng bo‘lgan yo‘nalishi esa 

berilgan vektor yo‘nalishiday (

0

ñ

l

bo‘lsa), unga qarama-qarshi (

0

á

l

  bo‘lsa) 

bo‘lgan yangi vektorga aytiladi. 

a

 vektorning 

l

 skalyarga ko‘paytmasi 

l

a

 bilan 

a

r

 

B

 

A

 

a

r

 

b

r

 

 

6 

belgilanadi.  

a

l

 va 

a

 vektorlar kollinear va 

a

l

=

l

a

*

. 3 chizmalarda 

a

, 2

a

, 

b

, -

2

3

b

, 

c

 va 

2

1

 

c

vektorlar  

ifodalangan. 

 

 

 

 

 

3-chizmalar 

b)  

a

 va 

b

  nuldan farqli vektorlar berilgan bo‘lsin (4a-chizma) 

 

 

 

    

               

4a-chizma                4b-chizma  

          5-chizma 

Ixtiyoriy O nuqtani olamiz va  

a

OA

=  vektorni yasaymiz, keyin A nuqtaga  B

A

=

b

 

vektorni  parallel  ko‘chiramiz, 

a

 vektorning boshini va, 

b

-vektorning  oxirini 

tutashtiruvchi uchunchi 

B

O

с

=

 vektorga ularning yig‘indisi deyiladi va 

c

=

a

+

b

 

bilan belgilanadi(4b-chizma). Uchta va undan ortiq vektorlar yig‘indisi ham 

yuqoridagidek aniqlanadi (5-chizma ). Vektorlarning yig‘indisiga ularning teng ta’sir 

etuvchisi ham deb yuritiladi. 

Ikki 

a

 va 

b

 vektorlarning ayirmasi 

a

-

b

=

a

+(-

b

) ko‘rinishda aniqlanadi. 

3.Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi  va uning xossalari. 

AB

vektorning  OX 

o‘qdagi  proyeksiyasi deb uning boshidan va oxiridan OX uqqa tushirilgan 

perpendikulyarlar asosi orasidagi uzunlikning musbat yoki manfiy ishora bilan 

olingan kattaligiga aytiladiki, bunda musbat ishora 

СD

 kesmaning yo‘nalishi OX 

o‘qi yo‘nalishi bilan bir xil, minus ishora 

СD

 kesma yo‘nalishi OX o‘qi 

yo‘nalishiga teskari bo‘lsa olinadi(6a,b chizmalar). 

 

 

a

r

 

a

r

2  

b

r

 

b

r

2

3

-

 

c

r

 

c

2

1

 

b

r

 

a

r

 

b

r

 

a

r

 

b

a

c

r

r

r

+

=

 

A

 

B

 

O  

a

s

 

b

r

 

c

r

 

c

b

a

d

r

r

r

r

+

+

=

 

 

7 

                                                                                                

                                       

 

                                                                               

 

                             a)                                                              b) 

                                                            6-chizmalar                      

Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi uning uzunligi bilan, vektor va o‘q orasidagi 

burchak kosinusi ko‘paytmasiga teng, ya’ni 

AB

ox

dunda

AB

AB

np

ox

Ù

=

=

a

a

,

cos

        (1) 

Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi uchun               

=

-

+

=

×

)

(

,

MN

l

CD

n

AB

m

np

AB

mnp

AB

m

np

ox

ox

ox

 

 

ox

ox

ox

l

CD

nnp

AB

mnp

-

+

=

            (2) 

tengliklar o‘rinlidir. 

Yuqorida qaralgan tushunchalarga birnecha misollar qaraymiz. 

1-misol. 

a

 va 

b

 vektorlar berilgan (7a-chizma). 

2

/

2

,

2

b

a

b

a

-

+

  vektorlarni 

yasang. 

 

 

 

 

          7a-chizma                   7b-chizma  

 

7c-chizma                                                                            

Yechish. 

a

 vektorni O nuqtaga parallel ko‘chirib, uning oxiridan 2 

b

vektorni 

yasaymiz. Vektorlarni qo‘shish qoidasiga asosan 

a

+2

b

 vektor 

OB

 vektordan iborat 

bo‘ladi. (7b chizma). O nuqtada 2

OA

a

=

 vektorni yasaymiz -

AC

b

=

2

1

 vektorni 

yasab 

OC

 vektorni hosil qilamiz. 

b

a

OC

2

1

2

-

=

  bo‘ladi  (7c-chizma) 

A 

B 

C 

D 

O 

A 

B 

C 

D 

O 

x 

x 

a

r

 

b

r

 

a

r

 

b

2

 

b

a

r

r

2

+

 

o  

A

 

B

 

a

r

2

 

b

r

2

1

-

 

o  

C  

A

 

 

8 

2-misol. 

a

 va 

b

 vektorlar OX o‘qi bilan mos ravishda 

3

2

p

 va 

3

p

burchaklar tashkil 

etsin. 

2

,

3

=

= b

a

bo‘lsa OX o‘qdagi 2

a

+5

b

 vektorning proyeksiyasini toping. 

Ma’lumki, (2)ga asosan     

b

np

a

np

b

a

np

ox

ox

ox

5

2

)

5

2

(

+

=

+

 

 

(1) formulaga asosan,       

2

3

)

2

1

(

3

3

2

cos

-

=

-

*

=

*

=

p

a

a

np

ox

 

                                                 

1

2

1

2

3

cos

=

×

=

×

=

p

b

b

np

ox

 

Shunday qilib 

2

5

3

1

5

)

2

3

(

2

5

2

)

5

2

(

=

+

-

=

×

+

-

×

=

+

=

+

b

np

a

np

b

a

np

ox

ox

ox

. 

3-misol. OAB uchburchakda 

OA

=

a

 va 

OB

=

b

 vektorlar berilgan (8 chizma). M,N 

nuqtalar mos ravishda AB va OB tomonlar o‘rtalari bo‘lsa 

MA

,MV 

MN

vektorlarni 

aniqlang?  

 

 

                                                                    

          

 

                                                      8-chizma 

Yechish.  Vektorlarni qo‘shishga  asosan 

AB

=

OB

-

OA

=

b

  -

a

   

MB

  vektorning 

yo‘nalishi 

AB

 vektorning yo‘nalishi bilan bir xil, demak 

)

(

2

1

2

1

a

b

AB

MB

-

=

=

 . 

MA

 

vektorning uzunligi

MB

 bilan bir xil, lekin qarama-qarshi yo‘nalgan, shuning uchun 

)

(

2

1

a

b

MB

MA

-

-

=

-

=

 

MN kesma OAB uchburchakning o‘rta chizig‘i bo‘lganligi uchun 

MN

 vektor 

OA

 

vektorga kollinear va uning yo‘nalishi 

OA

ning yo‘nalishiga teskari, hamda uzunligi 

ikki marta kam, ya’ni 

4.   Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi va uning tatbiqlari. 1.Ta’rif.  Ikki 

vektorning  skalyar ko‘paytmasi deb, shu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi 

burchak kosinusiga ko‘paytmasiga aytiladi. 

a

 va 

b

 vektorlarning skalyar ko‘paytmasi (

b

a

) bilan belgilanadi. Ta’rifga ko‘ra 

A

O

-

 

B

 

b

r

 

a

r

 

A

 

O  

N  

M

 

 

9 

(

)

b

a

b

a

b

a

Ù

=

×

×

=

×

g

g

,

cos

  

      (6) 

                                     

                  

                               

                                                                    

 

                                    12-chizma 

Vektorning o‘qdagi proyeksiyasidan ma’lumki 

b

np

b

a

=

g

cos

  yoki   

a

np

a

b

=

g

cos

 

Shuning uchun,  

( )

a

np

b

b

np

a

b

a

b

a

b

a

=

=

×

=

×

g

cos

 

 

  (7) 

Skalyar ko‘paytma ko‘yidagi xossalarga ega: 

1) skalyar ko‘paytma kommutativdir, ya’ni ixtiyoriy 

a

 va 

b

 vektorlar uchun  

(

) (

)

a

b

b

a

×

=

×

 (o‘rin almashtirish qonuni); 

2) istalgan 

a

 vektor uchun uning skalyar kvadrati  

 

(

)

2

2

a

a

a

a

=

=

×

  

 

 

 

(8) 

(8) tenglikdan 

2

a

a

=

 kelib chiqadi; 

3) ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi 0-ga teng bo‘lsa, ular albatta ortogonal yoki 

ulardan biri no‘l vektor bo‘ladi; 

4) skalyar ko‘paytma assotsiativlik xossasiga ega, ya’ni 

(

) (

)

)

(

b

a

b

a

b

a

×

=

×

=

×

l

l

l

; 

5) skalyar ko‘paytma distributivlik xossasiga ega, ya’ni 

(

) (

)

(

)

c

a

b

a

c

b

a

×

+

×

=

+

;

   (tarqatish qonuni); 

  6) vektorlar 

)

(

1

,

1

,

1

z

y

x

a

,  

)

(

2

,

2

,

2

z

y

x

b

 koordinatalari bilan berilgan bo‘lsa 

( )

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

b

a

×

+

+

×

=

×

. 

Skalyar ko‘paytmaning ayrim tatbiqlarini qaraymiz. Skalyar ko‘paytmadan 

foydalanib vektorning o‘qdagi proyeksiyasini topish mumkin (7) formuladan 

(

)

a

b

a

b

np

a

×

=

        yoki     

(

)

b

b

a

a

np

b

×

=

   . 

(9) 

a

r

 

b

r

 

g  

 

10 

Skalyar ko‘paytmadan foydalanib ikki vektor orasidagi burchakni topish mumkin (6) 

dan 

                      

(

)

b

a

b

a

×

×

=

a

cos

   

 

 

 

 

(10) 

)

(

1

,

1

,

1

z

y

x

a

 

)

(

2

,

2

,

2

z

y

x

b

ortonormallashgan  bazisda  koordinatalari  bilan 

berilgan bo‘lsa 

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

cos

z

y

x

z

y

x

z

z

y

y

x

x

+

+

+

+

×

+

×

+

×

=

a

 

 

 

(11) 

a

 va 

b

 ortogonal bo‘lsa 

0

2

1

2

1

2

1

=

×

+

×

+

×

z

z

y

y

x

x

 

 

 

Bo‘ladi. 

(10)  va  (11)  formulalarda 

i

b

=

  birlik  vektorga  almashtirsak 

0

,

0

,

1

,

1

2

2

2

=

=

=

=

z

y

x

b

 bo‘lib, 

=

a

сos

( )

a

i

a

×

  yoki 

2

1

2

1

2

1

1

cos

z

y

x

x

+

+

=

a

 

Bo‘ladi. 

Xuddi shunga uxshash 

j

b

=

va 

k

b

=

 desak 

2

1

2

1

2

1

1

cos

z

y

x

y

+

+

=

b

, 

2

1

2

1

2

1

1

cos

z

y

x

z

+

+

=

g

 

hosil  bo‘ladi,  bularga  vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari  deyiladi  va 

1

cos

cos

cos

2

2

2

=

+

+

g

b

a

bo‘ladi.  

Yuqorida qaralgan tushunchalarga birnecha misollar qaraymiz. 

1-misol. 

(

) (

)

5

,

3

,

1

,

1

,

1

,

3

b

a

-

-

 vektorlar berilgan. 

b

a

2

3

-

vektorning 

b

a

+

 

vektordagi proyeksiyasini toping.