1. Haqiqiy domendagi Furye seriyasi 4

1. Haqiqiy domendagi Furye seriyasi

1.1. Davriy funksiya haqida tushuncha

Tabiatda va texnologiyada biz ko'pincha vaqtning davriy funktsiyalariga duch kelamiz. Har qanday mashina, har qanday mexanizmning ishlashi bilan bog'liq jarayonlar, fizika, elektrotexnika kurslarida o'rganiladigan jarayon va hodisalar bizga shunday kattaliklarga misollar keltiradi. Hozirgi vaqtda davriy funktsiyalar yaxshi o'rganilgan va texnikaning turli sohalarida keng qo'llaniladi.
Ta'rif.Agar funktsiyaning har qanday sohasi uchun raqamlar ham ta'rif sohasiga tegishli bo'lsa, raqam funktsiyaning davri deb ataladi.

(1)

Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, agar funktsiya davri bo'lsa, u holda uning davri ham bo'ladi, bu erda har qanday butun son. Haqiqatan ham,

Shuning uchun, odatda, funktsiya davri haqida gapirganda, ular (1) tenglikni qondiradigan eng kichik musbat sonni anglatadi.
Masalan, beri

keyin funktsiyalar Va 2-davrli davriy funksiyalar Xuddi shunday, tenglik tufayli
,
funksiyalar davrning davriy funksiyalaridir.
Davriy funksiyalarning ayrim xossalarini qayd etamiz.
1) T davrining davriy funksiyalarining yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va qismi xuddi shu T davrining davriy funksiyasi.
Demak, masalan, funksiya davrning davriy funksiyasidir
2) Funksiya T davriga ega bo‘lsa, funksiya nuqtaga ega bo‘ladi .
Darhaqiqat, har qanday uchun

(2)

Masalan, funksiya uchun bizda:

Shuning uchun bu funktsiyaning davri bor va oldingi xususiyatga ko'ra, funktsiya bir xil davrga ega bo'ladi
Geometrik nuqtai nazardan, funktsiya argumentini songa ko'paytirish bu funktsiyaning grafigiga o'q bo'ylab qisqarish va cho'zishni anglatadi.
1) Agar T davrining davriy funktsiyasi bo'lsa, u holda T uzunlik oralig'ida olingan ushbu funktsiyaning istalgan ikkita integrali bir-biriga teng (bu integrallar mavjud deb taxmin qilinadi):

(3)

Haqiqatan ham,

Biz oxirgi integralni o'zgartiramiz:


Keyin

(3) formulaning geometrik tasvirini keltiramiz. Davriy funksiya grafigini tuzamiz. Buning uchun uning segmentdagi analitik ifodasini bilish kifoya [0; ], ushbu segmentda funksiya grafigini tuzing va keyin uni davriy qonun bo'yicha o'ngga va chapga davom ettiring. Bunda asosli egri chiziqli trapezoidning maydoni [0; ] 1-rasmda ko'rsatilgan asos bilan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng bo'ladi.

1-rasm
Xususan, agar va (3) dan kelib chiqadi

(4)