29-ma’ruza Vek tor va skalyar mayd onlar. Reja: Sath sirtlari. Sath chiziqlari

4-Ta’rif .u=u(x,y,z)funksiyalarning 
yo’nalish 
bo’yicha 
M(x,y,z) nuqtadagi hosilasi 
deb 
limitga aytiladi, bu limit 
tarzida belgilanadi. Shunday qilib, 
. 
Agar M nuqta tayinlangan bo’lsa, u xolda hosilaning kattaligii faqat nurning yo’nalishigagina 
bog’liq bo’ladi. 

---

yo’nalish bo’yicha hosila hususiy hosilalarga o’xshash u funksiyaning mazkur yo’nalishdagi 
o’zgarish tezligini xarakterlaydi. Hosilaning yo’nalish bo’yicha absolyut miqdori 
tezlikning kattaligini aniqlaydi, hosilaning ishorasi esa u funksiya o’zgarishining xarakterini 
aniqlaydi: agar 
> 0 bo’lsa, o’ xolda funksiya bu yo’nalishda o’sadi, agar 
<0 bo’lsa, 
kamayadi. 
Berilgan yo’nalish bo’yicha hosilani hisoblash qo’yidagi teorema yordamida amalga oshiriladi. 
T e o r e m a . Agar u ( x , y , z ) funksiya differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy 
yo’nalishi bo’yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng: 
 
Bunda cos , cos , cos — vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari. 
Isboti.u funksiya teoremaning shartiga ko’ra differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning 
M( x , y , z ) nuqtadagi ∆u orttirmasini 
∆
(2.1) 
ko’rinishida yozish mumkin, bunda kattalik
 
ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, ya’ni 
. 
Agar funksiya orttirmasi vektor yo’nalishidagi nur bo’ylab qaralsa, u holda 
bo’lishi ravshan. U xolda (2.1) tenglik bunday ko’rinishni oladi: 
Tenglikning ikkala qismini 
ga bo’lamiz va 
da limitga o’tamiz. Natijada 
(2)
 
chunki 
 
ho’so’siy hosilalar va yo’naltiruvchi kosinuslar
bog’liqbo’lmaydi. 
Shunday qilib, teorema isbotlandi. (2) formulada, agar yo’nalish koordinatalar o’qining 
yo’nalishlaridan biri bilan bir xil bo’lsa, u holda bu yo’nalish bo’yicha hosila tegishli hususiy 
hosilaga teng, masalan, agar
bo’lsa, u holda 
, r = u - u bo’ladi, shuning 
uchun 
0 va binobarin, 
 

---

(2) formuladan ko’rinadiki, yo’nalishga qarama-qarshi yo’nalishi bo’yicha hosila yo’nalish 
bo’yicha teskari ishora bilan olingan hosilasiga teng. 
Haqiqatan bunda,
burchaklar ga o’zgarishi kerak, 
natijada quyidagini hosil qilamiz: 
 
Bu yo’nalish qarama-qarshisiga o’zgarganda , funksiyaning o’zgarish tezligining absolyut 
miqdori o’zgarmaydi, uning faqat yo’nalishi o’zgaradi xolos.
Agar, masalan, yo’nalishda funksiya o’ssa, u xolda qarama-qarshi yo’nalishda u kamayadi, va 
aksincha. Agar maydon tekis bo’lsa, u holda nurning yo’nalshi u uning abssissalar o’qiga 
og’ish burchagi bilan to’la_ aniqlanadi. yo’nalish bo’yicha hosila uchun formulani tekis 
maydon holida (2) formuladan olish mumkin, bunda 
deb olinadi. U holda 
M i s o l . i = xyz funksiyaning M(-1, 2 , 4 ) nuqtada shu nuqtadan M
1
(—3,4,5) nuqtaga tomon 
yo’nalishdagi hosilasini toping. 
Y e c h i s h .
vektorni topamiz: 
 
va o’ngga mos birlik vektorni xam topamiz: 
Shunday qilib, vektor quyidagi yo’naltiruvchi kosinuslarga ega. 
Endi xyz funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:  
 
va ularni M( — 1 , 2, 4) nuqtada hisoblaymiz: 

---

Xususiy hosilalarning va yo’naltiruvchi kosinuslarning topilgan qiymatlarini (2) 
formulaga qo’yamiz: 
 
«—» ishora berilgan yo’nalishda u = xyzfunksiya kamayishini ko’rsatadi. 
3.