29-ma’ruza Vek tor va skalyar mayd onlar. Reja: Sath sirtlari. Sath chiziqlari

Skalyar maydon gradienti. Gradientni invariant aniqlash 
5 - T a ’ r i f : u = u(x, u, z) differentsiallanuvchi funksiya bilan berilgan skalyar 
maydonning M ( x , y,z ) nuqtadagi gradienti deb, gradu bilan belgilanuvchi vektorga 
aytilib, uning proeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari, 
bajaradi, ya’ni 
(3) 
Gradientning proeksiyalari M (x, u, z) nuqtani tanlashga bog’liq bo’ladi va shu 
nuqtaning koordinatalari o’zgarishi bilan o’zgaradi. Binobarin, u(x, u, z) funksiya bilan 
berilgan skalyar maydonning har bir nuqtasiga ma’lum bir vektor — shu funksiyaning 
gradienti mos qo’yiladi 
Gradientning ta’rifidan foydalanib, 
yo’nalish bo’yicha hosilani ifodalovchi (2) 
formulani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: 
, (4) 
Bunda 
yo’nalishdagi birlik vektor. Demak, berilgan u 
yo’nalish bo’yicha hosila funksiya gradienti shu u yo’nalishning birlik vektori ko’paytmasiga 
teng. Skalyar ko’paytma ta’rifidan foydalanib, (3.2) formulani 
 
ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda — birlik vektor 
0
bilan gradient orasidagi burchak (89- 
shakl). 
bo’lgani uchun 
(3.3) 
bo’ladi. Bundan yo’nalish bo’yicha hosila 
bo’lganda, ya’ni
da eng katta 
qiymatga erishadi. Shu bilan birga bu eng katta qiymat 
ga teng, ya’ni bu holda 
. (3.4)  
Shunday qilib, |gradu| kattalik 
hosilaning M nuqtadagi mumkin bo’lgan eng katta qiymati 
bo’ladi, gradu ning yo’nalishi esa M nuqtadan chiquvchi shunday nurning yo’nalishi bilan mos 
tushadiki u bo’ylab funksiya hammasidan ko’ra tezrok, o’zgaradi, ya’ni gradientning yo’nalishi 
funksiyaning eng tez ortishidagi yo’nalishidir. Bu yuqorida keltirilgan gradientning koordinatalar 
sistemasidan foydalanilgan ta’rifi o’rniga endi boshqa, koordinatalar sistemasini tanlashga 
bog’liq bo’lmagan invariant ta’rifni berishga imkon beradi.