29-ma’ruza Vek tor va skalyar mayd onlar. Reja: Sath sirtlari. Sath chiziqlari

Vektor maydon divergentsiyasi O x y z fazoning soxasida 
(M) = R ( x , y , z ) + Q ( x , y , z ) + R (a, y , z )
vektor maydon berilgan bo’lsin, unda R ( x , u , z ) , Q ( x , u , z ) , R ( x , y , z ) funksiyalar 
differentsiallanuvchi funksiyalar. 
Ta’rif. (M) vektor maydonning divergentsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb M nuqtaning skalyar 
maydoniga aytiladi, u div (M) ko’rinishda yoziladi va 
div (M) =
 
 
 
 
(7.1) 
formula bilan aniqlanadi, bunda hususiy hosilalar M  nuqtada hisoblanadi. 
Divergentsiyadan foydalanib, Ostrogradskiyning (6.1) formulasini vektor shaklida qayta yozish 
mumkin. 
0
d =
.
(7.2)
Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o’tuvchi (bu
sirt tashqi normali yo’nalishida orientirlangan) vektor maydon oqimi shu sirt bilan 
chegaralangan hajm bo’yicha maydon divergentsiyasidan olingan uch karrali integralga 
teng. 
Divergentsiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi:
1) 
div( (M)+ (M))= div (M)+div (M); 
2) 
divC (M)=Cdiv (M), bunda S — o’zgarmas son; 
3) 
div u(M) (M)=u(M)div (M) + (M) grad u(M), 
bunda i ( M )  — skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
1. Divergensiyaning invariant ta’rifi. Divergensiyani (7.1) formula yordamida aniqlash 
koordinata o’qlarini tanlash bilan bog’liq. Ostrogradskiyning (7.2) formulasidan 
foydalanib, divergensiyaning koordinatalar o’qlarini tanlash bilan bog’liq; bo’lmagan 
boshqa ta’rifini berish mumkin. 
Bu formulaning o’ng qismida o’ch karrali integral to’ribdi. O’rta qiymat haqidagi 
ma’lum teoremaga ko’ra (10-bob, 2-§) bu integral V  hajm bilan integral osti 

---

funksiyasining 
sohaning biror M
1
nuqtasidagi qiymati ko’paytmasiga teng. Shuning 
uchun (7.2) Ostrogradskiy formulasini quyidagicha yozish mumkin:
0
d = Vdiv (M
1
)
yoki 
0
d  
Agar soha M nuqtaga tortilsa yoki V 0 bo’lsa, u holda M
1
nuqta Mga intiladi. Natijada 
limitga o’tib, quyidagini hosil qilamiz: 
0
d  
yoki 
(7.3) 
Endi divergentsiyaning koordinata o’klarini tanlash bilan bog’liq bo’lmagan invariant 
ta’rifini berish mumkin.