29-ma’ruza Vek tor va skalyar mayd onlar. Reja: Sath sirtlari. Sath chiziqlari

6 - T a ’ r i f . u(x,y,z)skalyar maydonning gradienti deb, bu maydon o’zgarishining eng katta 
tezliginn ifodalovchi vektorga aytiladi. 

---

Agar 
bo’lsa, u xolda yo’nalish buiicha hosila 
ga teng eng kichik 
qiymat bo’ladi. Bu yo’nalishda (qarama-qarshi yo’nalishda) u funksiya xammasidan tezroq 
kamayadi. 
bo’lsa 
yo’nalish 
bo’yicha 
hosila 
nol
ga teng. Endi skalyar maydonning gradienti yo’nalishi bilan satx sirtlari orasidagi bog’lanishni 
o’rganamiz. 
u = u ( x , u , g ) funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining yo’nalishi shu 
nuqtadan o’tuvchi skalyar maydonning satx tekisligiga o’tkazilgan normalning yo’nalishi bilan 
mos tushishini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy M
0
(x
0
, y
0
z
0
) nuqtani tanlab olamiz (90-
shakl). Bu nuqtadan o’tuvchi satx sirti tenglamasi u( x , u , z ) = u
0 
ko’rinishda yoziladi, bunda 
u
0
= u ( x
0
, u
0
, z
0
). 
M
0
(x
0
,u
0
, z
0
) nuqtadan shu tekislikka o’tkazilgan normalining tenglamasini tuzamiz: 
Bundan, 
proeksiyalarga ega bo’lgan normalning yo’naltiruvchi vektori u(x,y
,
z) funksiyaning M
0
(x
0
,u
0
, 
z
0
) nuqtadagi gradienti bo’ladi. 
Shunday qilib, har bir nuqtadagi gradient berilgan nuqtadan o’tuvchi sath sirtiga o’tkazilgan 
urinma tekislikka perpendikulyar bo’ladi, ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. Demak, 
berilgai nuqtadan o’tuvchi satx sirtiga urinma bo’lgan istagan yo’nalish bo’yicha hosila nolga 
teng. Yaqqollik uchun olingan natijani geometrik jihatdan tasvirlaymiz (91-shakl). Buning uchun 
M
0
(x
0
,u
0
, z
0
) nuqtada gradu vektorni va bu vektor diametr bo’ladigan sferani yasaymiz, M
0
nuqta—i(x, u, z)=u
0 
satx sirti bilan urinish nuqtasi. Quyidagilar ravshan: 
; 
, 

---

chunki bu holda yo’nalish sath sirtiga o’tkazilgan urinmaning yo’nalishi bilan mos tushadi: 
, 
chunki bu xolda yo’nalish normalning yoki sath 
sirtiga o’tkazilgan 
gradu ning yo’nalishiga mos keladi. 
Funksiya 
gradientining 
ba’zi 
xossalarini 
ko’rsatamiz: 
1) 
bunda - o’zgarmas 
kattalik. 
2) 
, 
3) 
; 
4) 
Bu xossalar funksiyaning hosilasini topish qoidalari bilan mos teshishi ravshan. 
M i s o l
funksiyaning M (x, y, z) nuqtadagi gradientini hisoblang. 
Ye ch i sh . Avval hususiy hosilalarni hisoblaymiz: 
. 
. 
. 
(3) formulaga muvofiq ixtiyoriy M (x, y,z)nuqtadagi gradientning ifodasi quyidagicha bo’ladi: 
 
Skalyar maydonning sath sirtlari kontsentrik sferalardan iborat bo’lgani uchun gradu uning 
radiusi bo’ylab yo’nalgan bo’ladi, shu bilan birga 
. 
ya’ni u funksiya o’sishining eng katta tezligi 1 ga teng. 
4.