5-§. To’liq differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi

8-Misol. tenglamani yeching.

Yechish: Integrallovchi ko’paytuvchini (7-misoldagidek) xy ning funksiyasi, ya’ni bo’lsa, u holda (5.11) dan

hosil bo’ladi. Hosil bo’lgan funksiya xy ning funksiyasi bo’lmagani uchun integrallovchi ko’paytuvchini xy ning funksiyasi qilib, tanlash noto’g’ri bo’ladi, ya’ni bunday ko’rinishdagi integrallovchi ko’paytuvchi mavjud emas.

Endi bo’lsin deylik, u holda (5.11) dan

bo’ladi, ya’ni integrallovchi ko’paytuvchini tanlash to’g’ri va u ko’rinishda bo’ladi. Demak, berilgan tenglama

ko’rinishdagi to’liq differensialli tenglamaga kelib, uning yechimi

ko’rinishda bo’ladi.

5.2-Teorema. Agar funksiya (5.1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi, esa mos tenglamaning umumiy integrali bo’lib,

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda (5.1) tenglamaning barcha integrallovchi ko’paytuvchilari

(5.12)

(- ixtiyoriy, uzluksiz differensiallanuvchi funksiya) formula bilan aniqlanadi.

4-HOL. Ba’zi hollarda (5.11) tenglamani

(5.13)

ko’rinishda yozib, va tenglamalarni mos ravishda integrallovchi ko’paytuvchilari hamda umumiy integrallari aniqlanadi va 5.2-teoremaga asosan

munosabat orqali ( va larni tanlash imkoni bo’lsa) (5.1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisini topish mumkin.