60-odd years of moscow mathematical

Tour 38.2
Grade 7
38.2.7.1. See Problem 38.2.8.1 a) where n = 100.
38.2.7.2. A convex heptagon is inscribed in a circle. It is known that three of the heptagon’s angles are
equal to 120
◦
. Prove that two of the heptagon’s sides are of the same length.
38.2.7.3. Kolya and Vitya play the following game. There is a pile of 31 stones on the table. The boys
take turns making moves and Kolya begins. In one turn a player divides every pile which has more than one
stone into two lesser ones. The player who after his turn leaves all piles with only one stone in each wins.
Can Kolya win no matter how Vitya plays?
38.2.7.4. In the sequence 19752 . . . every digit beginning with the fifth one is equal to the last digit of
the sum of the preceding four digits. Is it possible to find in the sequence a) strings of consecutive digits
1234? 3269? b) a second string 1975?
Grade 8
38.2.8.1. Which of the two numbers is greater:
a) 2
2
..
.
2
(n many 2’s) or 3
3
..
.
3
(n − 1 many 3’s)?
b) 3
3
..
.
3
(n many 3’s) or 4
4
..
.
4
(n − 1 many 4’s)?
38.2.8.2. See Problem 38.2.7.2.

---

OLYMPIAD 39 (1976)
111
38.2.8.3. See Problem 38.2.7.4 with the addition: c) the set 8197?
38.2.8.4. There are two countries: Ourland and the Behind the Looking Glass, or just the Behindland.
Every town in Ourland has its “double” in the Behindland and vice versa. If some two towns A and B are
connected by a railroad in Ourland, then their doubles A
0
and B
0
are not connected in the Behindland, but
the doubles of two unconnected towns of Ourland are connected by a railroad in the Behindland. A girl
Alice from Ourland cannot reach town B from town A changing trains fewer than two times. Prove that her
double, Ecila, in the Behindland can get from one town to any other changing trains not more than twice.
38.2.8.5. In a soccer tournament n teams take part. Every team plays with the other one only once.
What can the greatest difference between the final scores of the team with neighboring final positions be?
Grade 9
38.2.9.1. See Problem 38.2.8.1.
38.2.9.2. See Problem 38.2.7.2.
38.2.9.3. See Problem 38.2.8.5.
38.2.9.4. In the land Mantissa towns are connected by roads. The length of any road is less than 500
km, and it is possible to get from any town to any other one driving less than 500 km. When one of the
roads was closed for repairs it turned out that it was still possible to get from any town to any other one.
Prove that in this case one can find a road between any two towns not longer than 1500 km.
38.2.9.5*. Is it possible to cut a convex polygon into a finite number of non-convex quadrilaterals? (See
Fig. 83.)
Figure 83. (Probl. 38.2.9.5)
Grade 10
38.2.10.1. See Problem 38.2.8.1.
38.2.10.2. See Problem 38.2.7.3 and replace 31 with 100.
38.2.10.3. See Problem 38.2.9.4.
38.2.10.4*. Several (n > 0) distinct spotlights illuminate a circus ring in the form of a disc. Every
spotlight illuminates some convex lamina on the ring. It is known that if any of spotlights is turned off the
ring is still fully illuminated, and if 2 arbitrary spotlights are turned off the ring is not fully illuminated. For
what n this is possible?
38.2.10.5. See Problem 38.2.9.5.
Olympiad 39 (1976)
Tour 39.1
Grade 10
39.1.10.1. Find all positive solutions of the system of equations:










