Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

 
  Quyidagi tenglama  
)
x
(
f
ds
)
s
(
y
)
s
,
x
(
K
b
a


 
 
 
 
 
 
                  (1) 
Fredgolmning birinchi tur tenglamasi,  
)
x
(
f
ds
)
s
(
y
)
s
,
x
(
K
)
x
(
y
b
a




  
 
 
 
              (2) 
- tenglama esa Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi deb ataladi.  
  Vol’terning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi 
)
x
(
f
ds
)
s
(
y
)
s
,
x
(
K
x
a


,   
 
 
 
 
                 (3) 
)
x
(
f
ds
)
s
(
y
)
s
,
x
(
K
)
x
(
y
x
a




, 
 
 
 
 
               (4) 
bunda 
)
x
(
f
, 
)
s
,
x
(
K
 - berilgan funksiyalar, 
)
x
(
y
- qidirilayotgan funksiya. 
Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida integral tenglamalarni 
yechish  
 
Integral  tenglamalarni  yechishning  boshqa  klassik  usullari  (2),  (4)  masalalardagi 
)
s
,
x
(
K
    - 
integral operator yadrosini “ko`paytma” yadro bilan almashtirishdir.  
  “Ko`paytma” yadro ushbu ko`rinishda ifodalanadi 





q
,
)
s
(
d
)
x
(
c
)
s
,
x
(
K
q
j
j
j
1
. 
Endi  




q
j
j
j
)
s
(
d
)
x
(
c
)
s
,
x
(
K
)
s
,
x
(
K
1
0
 
 
              (5) 
bo`lsin deylik. 

 
236
misol. 




1
0
)
(
)
cos
1
(
sin
)
(
dt
t
y
xt
x
x
x
y
    integral    tenglama,  uning  yadrosini 
ajratilgan yadroga almashtirish bilan yechilsin. 
Yechish: 
...).
!
4
!
2
1
(
1
cos
1
)
,
(
4
4
2
2







t
x
t
x
x
xt
x
t
x
K
  
Ajratilgan L(x,t)  yadro sifatida qatorning dastlabki uchta hadini olamiz:  
2
1
)
,
(
2
2
t
x
x
t
x
L



 
Natijada yangi  





1
0
2
2
)
(
~
)
2
1
(
sin
~
dt
t
y
t
x
x
x
y
 
Tenglamaga ega bo’lamiz va uning o’ng tomonini quyidagi ko’rinishga keltiramiz: 
)
1
(
)
1
(
sin
)
(
~
3
2
1
x
c
x
c
x
x
y




 
bunda  




1
0
1
0
2
2
1
)
2
(
)
(
~
5
.
0
,
)
(
~
dt
t
y
t
c
dt
t
y
c
 
(1) ni (2)  tengliklarga qo’yamiz: 














1
cos
2
1
1
1
sin
12
1
24
1
,
25
.
0
5
.
0
1
cos
1
2
1
2
2
1
1
c
c
c
c
c
c
 
Sistemadan c
1
=1.0031, c
2
=0.1674 aniqlanadi. Izlanayotgan yechim 
1
sin
1674
.
0
)
1
(
0031
.
1
)
(
~
2




x
x
x
y
 
Misol. Ketma- ket yaqinlasish usuli qo’llanilib; 



1
0
2
)
(
1
)
(
dt
t
y
xt
x
y
  tenglama yechilsin. 
Yechish: bizda 
 




b
a
b
a
dxdt
t
x
K
B
B
xt
t
x
K
)
,
(
;
1
)
,
(
,
1
2
2


    shartning bajarilishini 
tekshiramiz: 
B
B
dxdt
xt
1
;
15
1
,
15
1
...
)
(
1
0
1
0
2
2




 

 
Demak, iteratsiya qo’llanilishi mumkin. Uni qo’llaymiz. 

 
237
1
]
0
[

y
 bo’lsin. U holda: 
x
y
x
x
dt
t
xt
y
x
x
dt
t
xt
y
x
x
dt
t
xt
y
x
x
dt
xt
y
444
.
0
1
,
4427
.
0
1
192
85
1
...
)
16
7
1
(
1
,
4375
.
0
1
16
7
1
...
)
12
5
1
(
1
,
41666
.
0
1
12
5
1
...
)
3
1
(
1
,
3333
.
0
1
3
1
1
1
]
5
[
1
0
2
]
4
[
1
0
2
]
3
[
1
0
2
]
2
[
1
0
2
]
1
[


































 
Beshinchi yaqinlashish xatosini baholaymiz; 
.
10
667
.
4
...
)
1
15
1
1
1
1
(
15
1
1
15
5
1
1
;
5
1
max
,
1
1
1
1
3
5
1
0
1
0
4
2
1
1
0
2
1
0
2
























x
dt
t
x
C
dx
Y
dx
F
 
Misol. Integral tenglamaning yechimi topilsin. 




x
t
x
x
dt
t
y
e
e
x
y
0
.
)
(
)
(
 
Yechish: yechimni 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
~
)
(
4
3
2
1
0
4
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y






 
ko’rinishda izlaymiz, bunda 

 
238
)
!
4
!
3
!
2
!
1
1
(
)
(
,
4
3
2
1
...
3
2
1
,
)
(
,
3
2
1
...
2
1
,
)
(
,
2
1
...
,
)
(
,
...
,
)
(
)
(
)
,
(
)
(
,
)
(
)
(
4
3
2
0
4
3
4
0
3
2
3
0
2
2
0
1
0
1
0
x
x
x
x
e
x
y
e
x
dt
e
t
e
x
y
e
x
dt
e
t
e
x
y
e
x
dt
te
e
x
y
xe
dt
e
e
x
y
dt
t
y
t
x
K
x
y
e
x
f
x
y
x
x
x
t
t
x
x
x
t
t
x
x
x
t
t
x
x
x
t
t
x
x
k
k
x


































 
Tenglamaning aniq yechimi y=e
2x
. Taqqoslash maqsadida aniq va taqribiy yechimlarning x=0 va 
x=1 dagi qiymatlarini keltiramiz. 
y(0)=1, y(1)=7.3890557, 
3620131
.
7
)
1
(
~
,
1
)
0
(
~


y
y
 
 
 
MASHQLAR 
 
1-3 mashqlarni yechishda yadroni Teylor qatorining avvalgi uchta hadi yig’indisidan iborat bo’lgan 
ajralgan yadroga almashtirishdan foydalanilsin: 

















1
0
2
1
0
2
1
0
.
)
(
)
cos
1
(
sin
2
1
2
)
(
.
3
.
10
;
5
,
1
,
1
)
(
sin
1
.
0
)
(
.
2
.
)
(
)
1
(
)
(
.
1
dt
t
xy
xt
x
x
x
y
p
p
x
dt
t
y
p
xy
x
y
dt
t
y
e
x
x
e
x
y
t
x
x

 
4-6 mashqlarni yechishda ketma-ket yaqinlashishlar usulidan foydalanilsin: 

 
239









1
0
2
2
1
0
1
0
2
)
(
)
(
.
6
.
)
(
2
1
6
5
)
(
.
5
.
)
(
1
)
(
.
4
dt
t
y
xt
x
x
y
dt
t
xty
x
x
y
dt
t
y
xt
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
«HISOBLASH USULLARI» FANIDAN MUSTAQIL ISH MAVZULARI 
  
1-mavzu. Hozirgi zamon hisoblash mashinalari va sonli usullar. 
1.  Analogli va modellovchi hisoblash mashinalari. 
2.  Raqamli hisoblash mashinalari. 
3.  Masalani EHM da yechishning o’ziga xos tomonlari. 
 

 
240
2-mavzu.Masalalarni sonli yechishdagi natijaning xatosi. 
1.  Xatolar manbai. 
2.  Hisoblash xatosi 
3.  Yo’qotilmas xato. 
4.  Funksiyaning yo’qotilmas xatosi. 
5.  Arifmetik amallar va logarifmlashning xatosi 
6.  Ishonchli raqamlar sonini aniqlash qoidasi 
 
 
3-mavzu. Ko’phad va uning hosilalarining qiymatlarini hisoblash. 
1.  Gorner sxemasi. 
2.  Ko’phad hosilalarining qiymatlarini hisoblash. 
3.  Ko’phadni kvadratik uchhadga bo’lish. 
 
4-mavzu. Tenglamalarni taqribiy yechishning iterasiya usuli. 
1.  Tenglamaning ildizlarini ajratish. 
2.  Oddiy iterasiya usuli. 
3.  Vegsteyn usuli. 
4.  Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. 
 
5-mavzu. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 
1.  Metrik fazo haqida tushuncha. 
2.  Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 
3.  Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish. 
 
6-mavzu. Tenglamalarni yechishning yuqori tartibli iterasion usullari. 
1.  Umumiy mulohazalar. 
2.  Chebыshev usuli. 
 
7-mavzu. Tenglamalarni yechishning Nyuton usuli. 
1.  Bita tenglama uchun Nyuton usuli 
2.  Nyuton usulining yaqinlashishi haqida teoremalar. 
3.  Karrali ildizlar uchun Nyuton usuli. 
 
8-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari. 
1.  Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari tavsifi. 
2.  Gaussning bosh elementlar usuli. 
3.  Gauss usuli yordamida determinantni hisoblash. 
4.  Gauss usuli yordamida teskari matrisani hisoblash. 
 
9-mavzu. Maxsus xossalarga ega bo’lgan matrisalardan foydalanish. 
1.  Kvadrat ildizlar usuli. 
2.  Aylantirishlar usuli. 
 
10-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning  
                  ortogonallashtirish usuli. 
1.  Vektorlar ustida amallar. 
2.  Ortogonallashtirish jarayoni va usuli. 
 
11-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning   
                akslantirishlar usuli. 
1.  Berilgan matrisani uchburchak matrisaga keltirish. 

 
241
2.  Akslantirishlar usulining hisoblash sxemasi 
 
12-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning   
                iterasion usullari. 
1.  Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 
2.  Oddiy iterasiya usuli va  yaqinlashish sharti. 
3.  Zeydel usuli va  yaqinlashish sharti. 
 
13-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning   
                gradiyentlar usuli. 
1.  Funksiyaning gradiyenti tushunchasi. 
2.  Gradiyentlar usuli va  yechimga yaqinlashish tezligi. 
 
14-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning   
                qo’shma gradiyentlar va minimal farqlar usuli. 
1.  Qo’shma gradiyentlar usuli  
2.  Minimal farqlar usuli va  yechimga yaqinlashish tezligi. 
 
15-mavzu. Matrisaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 
1.  Umumiy mulohazalar.  
2.  Matrisaning minimal ko’phadlari. 
3.  Matrisaning minimal ko’phadlarini topish. 
4.  Krыlov usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish. 
 
16-mavzu.Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Lansosh usuli. 
1.  Xos ko’phadni topish.  
2.  Lansosh usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish. 
 
 
17-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Danilevskiy usuli. 
1.  O’xshash almashtirishlar.  
2.  Danilevskiy usulidagi noregulyar hol. 
3.  Danilevskiy usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish. 
 
 
18-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Leverye va Faddeyev  
                usullari. 
1.  Leverye usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish. 
2.  Faddeyev usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish. 
 
 
19-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning noaniq koeffisi- 
                 yentlar  va hoshiyalash  usullari. 
1.  Noaniq koeffisiyentlar usulida xos son va xos vektorlarni topish. 
2.  Hoshiyalash usulida xos son va xos vektorlarni topish. 
 
20-mavzu. Xos sonlarning qismiy mauammosini yechishning iterasion  
                 usullari. 
1.  Simmetrik, Ermit va normal matrisalar haqida tushuncha. 
2.  Eng katta xos son va unga mos xos vektorni topishda darajali usul. 
3.  Ikkinchi xos son va unga mos xos vektorni topish. 
 

 
242
21-mavzu. Musbat aniqlangan simmetrik matrisaning xos sonlari va xos   
                 vektorlarini aniqlash. 
1.  Simmetrik, Ermit va normal matrisalar haqida tushuncha. 
2.  Eng katta xos son va unga mos xos vektorni topishda darajali usul. 
3.  Ikkinchi xos son va unga mos xos vektorni topish. 
 
22-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda   
                iterasiya usulining yaqinlashishini tezlashtirish. 
1.  Lyusternik usuli.  
2.  Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi taqribiy yechimining xatosini baholash. 
 
 
23-mavzu. Funksiyalarni interpolyasiyalash. 
1.  Interpolyasiya masalasining qo’yilishi.  
2.  Interpolyasion ko’phadlarning mavjudligi va yagonaligi. 
 
24-mavzu. Har xil tartibli chekli ayirmalar. 
1.  Chekli ayirmalar va ularning xossalari.  
2.  Ayirmalar jadvali. 
3.  Umumlashgan daraja. 
 
25-mavzu. Lagranj interpolyasion formulasi. 
1.  Lagranj koeffisiyentlari va interpolyasion formulasi.  
2.  Eytken sxemasi. 
3.  Lagranj interpolyasion formulasining qoldiq hadini baholash. 
 
26-mavzu. Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyasion formulasi. 
1.  Bo’lingan ayirmalarva ularning xossalari.  
2.  Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyasion formulasi. 
 
 
27-mavzu. Interpolyasion jaryonning yaqinlashishi. 
1.  Teng qadamli interpolyasion formulalarni qo’llash uchun tavsiyalar.  
2.  Interpolyasion jarayonning yaqinlashishi. 
 
28-mavzu. Karali tugunlar bo’yicha interpolyasiyalash. 
1.  Ermit interpolyasion ko’phadi.  
2.  Ermit formulasi va qoldiq hadi. 
 
29-mavzu. Jadval tuzishda interpolyasiyani qo’llash. 
1.  Chiziqli  interpolyasiya.  
2.  Funksiyani ikkinchi tartibli Bessel interpolyasion ko’phadi bilan almashtirish. 
3.  Jadval tuzishda ekstropolyasiyani qo’llash. 
 
30-mavzu.Teskari interpolyasiya. 
1.  Teskari interpolyasiyamasalasining qo’yilishi.  
2.  Teng oraliqlar uchun teskari interpolyasiya. 
 
31-mavzu. Sonli differensiallash. 
1.  Umumiy mulohazalar.  
2.  Lagranj ko’phadi yordamida sonli differensiallash. 
3.  Nyuton formulasi yordamida sonli differensiallash. 

 
243
 
32-mavzu. Aniq integrallarnitaqribiy hisoblash. 
1.  Kvadratur formulalar va ularning qoldiq hadi.  
2.  Eng sodda kvadratur formulalar. 
 
33-mavzu. Interpolyasion kvadratur formulalar. 
1.  Kvadratur formulalarning algebraik aniqlik darajasi.  
2.  Nyuton –Kotesa kvadratur formulalari. 
3.  Umumlashgan kvadratur formulalar. 
 
34-mavzu. Algebraik aniqlik darajasi yuqori kvadratur formulalar. 
1.  Gauss tipidagi kvadratur formulalar va koeffisiyentlari xossalari.  
2.  Gauss tipidagi kvadratur formulalarning qoldiq hadi. 
3.  Gauss tipidagi kvadratur formulalarning yaqinlashishi. 
 
 
35-mavzu. Gauss tipidagi kvdratur formulalarning xususiy hollari. 
1.  Gauss kvadratur formulasi.  
2.  Gauss kvadratur formulasining tugunlari va koeffisiyentlari. 
 
36-mavzu. Chebыshev kvdratur formulasi. 
1.  Moler kvadratur formulasi. 
2.  Teng koeffisiyentli kvadratur formula.  
3.  Bernshteyn teoremasi. 
 
37-mavzu. Optimal kvadratur formulalar. 
1.  Kvadratur formula xatosining optimal bahosi. 
2.  Kvadratur formula xatosini minimallashtirish.  
3.  Bernshteyn teoremasi. 
 
40-mavzu. Kvadratur formulalarning aniqligini orttirish. 
1.  Bernulli sonlari va ko’phadlari. 
2.  Ixtiyoriy funksiyalarni Bernulli ko’phadlari orqali tasvirlash.  
3.  Eyler-Makloren formulasi. 
 
41-mavzu. Kvadratur formulalar qo’llashga tavsiyalar. 
1.  Kvadratur formulani tanlash. 
2.  Runge qoidasi. 
 
42-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish. 
1.  Nyuton usuli. 
2.  Yechimning mavjudligi va Nyuton usulining yaqinlashish sharti. 
3.  Nyuton usulining yaqinlashish tezligi. 
4.  Modifikasiyalangan Nyuton usuli. 
 
43-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy  
                 yechishning iterasiya usuli. 
1.  Iterasiya usuli. 
2.  Iterasiya usuli yaqinlashishining birinchi sharti. 
3.  Iterasiya usuli yaqinlashishining birinchi sharti. 
 
 

 
244
44-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishga  
                 qatorlarni qo’llash. 
1.  Darajali qatorlar usuli. 
2.  Darajali qatorlar usulining yaqinlashishi.