Боби I. Мафҳумиҳои табдилоти хаттӣ ва хосиятҳои он

Боби II. Татбиқи матритсаҳои Жорданӣ ба матритсаи ихтиёрӣ. Табдилоти нормалӣ ва шакли нормалии табдилоти хаттӣ

Дар ин боб барои омӯхтани матритсаҳо жорданӣ масъалаи табдилоти нормалӣ ва шакли нормалии табдилоти хаттии ихтиёрӣ муоина карда шудааст.Инчунин 𝜆- матритсаҳо ва хосияти λ матритсаҳо, матритсаҳои монанд, хосиятҳои асосии матритсаҳои монанд ва ба шакли нормалӣ ва диогоналӣ овардани матритсаи ихтиёрӣ, овардани матритсаи ихтиёрӣ ба матритсаи Жорданӣ мушаххас омӯхта шудааст.
Таърифи 1. Агар табдилоти -и фазои унитарӣ шарти чой дошта бошад, он гоҳ ин табдилотро табдилоти нормалӣ номида мешавад.
Ба ин табдилоти ба худ ҳамроҳшуда ва табдилоти унитарӣ ҳолатҳои хусусии табдилоти нормалӣ мебошанд.Дар ин ,чо А матрисаи табдилот А ба он ҳамроҳшуда мебошад.
Теоремаи 1. Дар базиси ортогоналӣ табдилоти хаттии ба шакли диагоналӣ овардан, зарур ва кифоя аст, ки барои он баробарии зерин чой дошта бошад

бошад.
Исбот. Шарти зарурӣ.Фарз мекунем, ки дар ягон базиси ортонормиронидашуда матритсаи табдилоти диагоналӣ аст, яъне дар намуди зерин дода шудааст:

Аз сабабе ки базиси додашуда ортонормиронидашуда мебошад, бинобар ин матритсаи табдилоти намуди зеринро дорад:

Матритсаҳои табдилоти диагоналианд, бинобар ҳамин онҳо байни худ ҷойивазкунанда мебошанд. Пас, худи табдилоти низ ҷойивазкунанда аст.
Шарти кифоягӣ. Фарз мекунем, ки:

мебошад. Табдилоти ва ба худ ҳамроҳшудаанд. Агар ва ҷойивазкунанда бошанд, он гоҳ ва низ ҷойивазкунанда мебошанд. Табдилоти ва -ро дар як вақт ба шакли диагоналӣ овардан мумкин аст. Он гоҳ ҳам дар шакли диагоналӣ навишта мешавад. Агар табдилоти бахуд ҳамроҳшуда бошад, он гоҳ

яъне нормалӣ мебошад.
Базиси табдилоти ихтиёриро муоина мекунем, ки дар он матритсаи ин табдилот намуди нисбатан сода дорад .Ин шакли ҳосилшударо шакли нормалии жорданӣ меномем.
Вақте ки миқдори векторҳои хаттӣ новобастаи табдилот ба ченаки фазо баробар мешавад, ин шакли нормалӣ ба шакли диагоналӣ оварда мешавад.
Фарз мекунем, ки табдилоти хаттии ихтиёрии дар фазои комплексии -ченака дода шудааст. Бигузор вектори хоси хаттӣ новобастаи дошта бошад, ки онҳо ба қимати мувофиқанд. Он гоҳ базисе мавҷуд аст, ки аз гурӯҳи векторҳои

иборат буда, дар он табдилоти намуди зеринро дорад:




Чӣ тавре ки маълум аст, векторҳои базисии ҳар як гурӯҳ дар вақти табдилот ба комбинатсияи хаттии векторҳои ҳамин гурӯҳ мегузаранд.Аз ин ҷо чунин хулоса баровардан мумкин аст, ки ҳар як гурӯҳи векторҳои базисӣ зерфазоеро ба вуҷуд меоварад, ки он нисбат ба табдилоти инвариантӣ мебошад.
Матритсаи табдилоти (2.1.2)-ро тартиб медиҳем.Азбаски векторҳои ҳар як гурӯҳ бо комбинатсияҳои хаттии векторҳои ҳамин гурӯҳ табдил мешаванд, бинобар ҳамин дар сутуни якуми матритсаи табдилот фақат элементҳои сатри якум аз нул фарқ карда мешаванд. Дар сутуни боқимонда фақат элементҳои сатрҳои рақамашон бо рақами ин сутунҳо якхела аз нул фарқ мекунанд. Ҳамин тариқ дар ин базис матритсаи табдилот аз хонача иборат мешавад, ки онҳо дар диагонали асосӣ ҷоқгир шудаанд. Ҳамаи элементҳои ба ин хоначаҳо дохилнашуда ба нул баробаранд.
Барои фаҳмидани он ки дар ҳар як хоначаи матритсаи табдилоти чӣ ҷой гирифтааст, чӣ гуна табдил ёфтани векторҳои як гурӯҳро бори дигар навиштан кифоягӣ мекунад:
Матритсаи ба табдилоти базис мувофиқро сохта, хоначаи матритсаи ба гурӯҳи додашудаи векторҳо мувофиқро дар намуди зерин ҳосил мекунем:

Тамоми матритса низ аз чунин хоначаҳои тартибашон мувофиқан ташкил ёфтааст, яъне намуди зеринро дорад:

Дар ин ҷо элементҳои берун аз хоначаҳо аз нул иборат аст.