Боби I. Мафҳумиҳои табдилоти хаттӣ ва хосиятҳои он

Ба шакли нормалӣ овардани табдилоти ихтиёрӣ. Усули сохтани базисеро меомӯзем, ки дар он матритсаи табдилоти шакли нормалии жорданӣ дорад.Ин базисро мо бевосита аз векторҳои хос ва пайвастшуда интихоб мекунем.

1. 
   Векторҳои хос ва векторҳои пайвастшудаи табдилоти хаттӣ.Фарз мекунем, ки ягон қимати хоси табдилоти мебошад.
   

Таърифи 2. Агар яъне (
бошад, вектори вектори хоси табдилоти -и ба қимати хоси мувофиқ мебошад..
Ҳамаи векторҳоро, ки шарти (2.1.5)-ро қаноат мекунонад, барои -и таҳлил мекунем. Чӣ тавре ки ба мо маълум аст, суммаи ин векторҳо зерифазои фазои мебошад. Ин зерифазоро бо ишора мекунем.
Нишон медиҳем,ки, зерифазои аз ҳамаи векторҳои хоси табдилоти -и ба қимати хоси мувофиқ иборат буда, ба онҳо вектори нулӣ ҳамроҳ карда шудааст.
Таърифи 3. Агар вектори вектори хоси табдилоти бошад, вектори вектори пайвастшудаи тартиби якуми табдилоти -и ба қимати хоси мувофиқ номида мешавад.
Агар ба зерифазои векторҳои пайвастшудаи тартиби бошад бо ёрии он зерифазои ҳосил мекунем Просесро ҳамин тавр давом медиҳем ва зерифазои -ро ворид мекунем, ки он аз ҳамаи векторҳои , ки барои онҳо шарти
иҷрошаванда аст.
Таърифи 4. Агар вектори вектори пайвастшудаи тартиби -ум бошад, вектори вектори пайвастшудаи тартиби -ум меноманд.
Ба ибораи дигар, векторе ки ба тааллуқ дошта, ба тааллуқ надорад, вектори пайвастшудаи тартиби -ум номида мешавад.
Ба шакли нормалӣ овардани матритсаи дорои як қимати хос. Агар табдилоти хаттӣ танҳо аз векторҳои хос иборат бошад, дар ин фазо базисро ихтиёрӣ қабул кардан мумкин аст ва матритсаи табдилот дар ин базис намуди диагоналӣ дорад.
Барои интихоб кардани базис, ки дар он матритсаи табдилоти хаттӣ намуди нисбатан соддатар дорад, мо занҷирчаи векторҳои хос ва пайвастшударо кашола мекунем. Барои ин дар зерифазои ягон базисро интихоб намуда, ба векторҳои ин базис табдилоти -ро пай дар пай татбиқ татбиқ менамоем.
Таърифи 5. Системаи -и векторҳои хаттӣ новобастаи , ки баъди бо ягон базиси пурра шудан, базиси тамоми фазоро ташкил медиҳад, базиси фазои нисбат ба зерифазои номида мешавад.
Тасаввур мекунем, ки табдилоти дар фазои танҳо як қимати хос дорад. Умумияти онро маҳдуд накарда, фарз кардан мумкин аст, ки вай ба нол баробар мебошад. Занҷирчаи зерифазои зеринро дида мебароем:

Дар зерифазои максималии зерифазоҳои нисбат ба зерифазои онро дарбаргиранди базисеро интихоб мекунем. Бигузор

векторҳои ин базис бошанд. Ба мо маълум аст, ки онҳо векторҳои пайвастшудаи тартиби ( -ум мебошанд.Векторҳои дар вектори мехобанд. Нишон медиҳем, ки ин векторҳо нисбат ба зерифазои -и дар вектори ҷойгиршуда хаттӣ новобаста мебошанд. Дар ҳақиқат, бигузор на ҳамаи мебошанд ва

Он гоҳ вектори аст. Вале ин ба фарзияти мо, ки векторҳои нисбат ба хаттӣ новобаста мебошанд, мухолиф аст.
Векторҳои -ро дар нисбат ба та базис пурра мекунем ва вектори , -ро ҳосил менамоем, ки онҳо миқдори максималии векторҳои хаттӣ новобастаи пайвастшудаи тартиби мебошад.
Векторҳои ҳосилшударо дар ҷадвали зерин ҷойгир менамоем:






Ҳамаи векторҳои дар ҷадвал овадашуда базиси яъне тамоми фазои -ро ташкил медиҳанд.
Нишон медиҳем, ки дар ин базис матритсаи табдилоти шакли нормалии жорданӣ дорад. Сутуни ихтиёрии ҷадвали (2.1.6), масалан сутуни якумро таҳлил мекунем. -ро бо , -ро бо ва ғайра ишора мекунем ва таъсири табдилоти -ро ба ҳар яки ин векторҳо дида мебароем. Аз сабабе ки вектори хоси ба қимати хоси нулӣ мувофиқ аст, бинобар ҳамин:

мешавад. Сипас, мувофиқи таъриф

ва мисли ҳамин мешавад.
Ҳамин тавр, табдилоти векторҳои сутуни якумро боз ба худаш табдил медиҳад, яъне зерифазои -и бо ин векторҳо ҳосилшуда нисбат ба табдилоти инвариантӣ мебошад. Намуди матритсаи табдилоти дар зерифазои дар базиси чунин мебошад:

яъне ин хоначаи жорданӣ мебошад, ки ба қимати хоси 𝜆 мувофиқ меояд. Зерифазои инвариантии ба ин монанд ба ҳар яке аз сутунҳои ҷадвали (2.1.6) мувофиқ меояд ва ченаки ҳар яке аз ин зерифазоҳо ба адади векторҳои сутуни мувофиқ баробар аст. Азбаски матритсаи табдилоти дар базисе, ки аз векторҳои ягон сутуни ҷадвали (2.1.6) иборат аст, намуди (2.1.7)-ро дорад, бинобар ҳамин матритсаи табдилот дар тамоми фазои дар базисе, ки аз ҳамаи векторҳои ҷадвали (2.1.6) иборат аст, аз хоначаҳои жорданӣ иборат аст. Миқдори ин хоначаҳо ба миқдори сутунҳои ин ҷадвал баробар буда, ченаки ҳар як хонача ба миқдори векторҳои сутуни мувофиқ баробар мебошад.
Агар ба ҷои табдилоти табдилоти -ро гузорем, он гоҳ хоначаҳои жордании матритсаи табдилоти дар намуди зерин навишта мешавад: