Боби I. Мафҳумиҳои табдилоти хаттӣ ва хосиятҳои он

Табдилоти баръакс. Табдилоти баръакс ва мафҳуми матритсаи баръакс чамбарчас алоқаманд буд доимо, дар вақти ёфтани табдилоти баръакс бо хосиятҳои матритсаи баръакс такия мекунем.
Таърифи 4.Дар вақти будан, табдилоти нисбат ба баръакс номида мешавад, ки дар ин ҷо табдилоти воҳидӣ мебошад.
Ин ба мо нишон медиҳад,ки яъне матритсаро ба баръаксияш зарб кунем ёки матритсаи баръксро ба матриса зарб кунем матритсаи воҳидӣ ҳосил мешавад.
Табдилоти баръакс нисбат ба табдилоти баръакс бо ишора карда мешавад. Ҳар як матритсае, ки шарти Det( -ро қаноат мекунонад ба он баръаксияш мавчуд аст ва онро табдилоти ғайримахсус меноманд .Матритсаи баръакси -ро муайян кардан мумкин аст, ки он шарти зеринро қаноат кунонад:

Матритсаи нисбат ба матритсаи баръакс номида мешавад. Системаи муодилаҳои хаттиӣ бо муодилаи матритсавӣ (1.1.5) баробарқувваро ҳал карда, матритсаи -ро ёфтан мумкин аст ва бе мушкилӣ санҷидан мумкин аст, ки матритсаи -и чунин тартиб додашуда шартҳои (1.1.5)-ро қаноат мекунонад.
Азбаски дар базиси додашуда байни матритсаҳо ва табдилоти хаттӣ мувофиқати якқиматаи амали зарбро нигоҳдоранда мавҷуд аст,пас таърифи зеринро баён кардан мумкин аст:
Барои он ки табдилоти баръаксашро дошта бошад, зарур ва кифоя аст, ки муайянкунандаи матритсаи он дар ягон базис аз нол фарқ карданаш лозим аст, яъне бояд ранги -ро дошта бошад. Табдилоте хаттие, ки табдилоти баръакси дорад онро табдилоти хатти ғайримахсус меноманд. Табдилоти хаттии махсус табдилоти хатти баръакс надорад.
Мисол:
Дар фазои сеченакаи векторҳои базиси 0), ва табдилоти хаттии
дода шудаанд. Табдилоти хаттии баръаксро ёбед.





Авалан аз ҳисобкуниҳои муайянкунанда маълум аст,ки қимати муайянкунанда он нобаробари нул мебошад ,пас мебошад, яъне буда ба онтабдилоти баръксӣ мавчуд аст . Матритсаи ба матритсаи баръаксро меёбем:










буда, охирон матритса матритсаи матритсаи табдилот хаттӣ дар базиси додашудаи табдилот меномем. Ҳамин тавр:



Табдилоти хаттии ҳосилшударо табдилоти хаттии баръаксии табдилот меноманд.
1.2.Зерифазоҳои инвариантӣ ва векторҳои хос , қиматҳои хоси табдилоти хаттӣ
Дар вақти омӯхтани векторҳои хос ва қиматҳои хоси табдилоти хаттӣ зерифазоҳои инвариантии якченака аҳамияти хосе доранд.
Фарз мекунем,ки зерифазои якченака мебошад ва вектори ба вуҷуд меорад. Барои инвариантӣ будани зарур ва кифоя аст, ки вектори дар ҷойгир буда, нисбат ба вектори каратӣ бошад:

Таъриф. Вектори , ки бо ёрии ифода карда шудааст, вектори хос ва адади ба он мувофиқи 𝜆 қимати хоси табдилоти хаттии номида мешавад.
Бинобар ин, агар вектори хос бошад, векторҳои зерифазои инвариантии якченакаро ташкил мекунанд.
Теоремаи 1 Дар фазои комплексии ҳар гуна табдилоти хаттии додашуда ақаллан як вектори хос дорад.
Бо исботи теорема шурӯъ мекунем : Дар фазои -ченакаи ихтиёрии базиси -ро интихоб карда ба матритсаи ба он мувофиқро чустучъ.Дар ин базис ба табдилоти хаттии матритсаи мувофиқ меояд.
Фарз мекунем, ки:
вектори ихтиёрии ва ( бошад, он гоҳ координатаҳои -и вектори бо формулаҳои зерин ифода карда мешаванд:
...
...

...
Дар ҳолате, ки вектори додашуда хос аст, яъне баробарии иҷро мегардад, ба таври зерин навишта мешавад:
...
...
. . . . . . . . . . . . . . . . .

ё ин ки

Ҳамин тариқ, барои исбот кардани теоремаи додашуда исбот кардан зарур аст, ки адади 𝜆 ва ададҳои -и нобаробари нул вуҷуд доранд, ки системаи (1.2.1)-ро қаноат мекунонанд.
Дар вақти муайян кардани вектор хос ва қимати хос мо аз мафҳуми системаи муодилаҳои хаттии якчинса истифода мебарем .Аз мафҳуми системаи муодилаҳои хатттии якчинса маълум аст,ки фақат дар маврида нул будани муайянкунада он сисетма ҳалҳои ғайринулӣ дорад.Системаи якҷинсаи дар боло овардашуда, танҳо дар ҳолате ҳалли ғайринулии худро дорад, ки муайянкунандаи он баробари нул бошад:

Дар натиҷаи табдилдиҳиҳо мо нисбат ба 𝜆 муодилаи дараҷаи -умро ҳосил намудем. Ин муодила ҳадди ақал як решаи (яъне комплексӣ) дорад.
Дар системаи якҷинсаи (1.2.1) ба ҷои 𝜆 решаи –ро гузошта, системаи муодилаҳои хаттии якҷинсаро ҳосил мекунем, ки муайянкунандаи он ба нул баробар мебошад ва бинобар ин ҳалли ғайринулии , -ро дорад. Он гоҳ вектори

вектори хос ва –қимати хоси табдилоти хаттии мешавад, барои он ки

Буда теорема исбот шуд.
Бисёраъзогии тарафи чапи муодилаи (1.2.2)-ро бисёраъзогии характеристикии матритсаи табдилоти ва худи муодилаи (1.2.2)-ро муодилаи характеристикӣ ё муодилаи қадимии ин матритса меноманд. Ҳангоми исботи теорема нишон додем, ки решаҳои бисёраъзогии характеристикӣ қиматҳои хоси табдилоти хаттии , ва баръакс қиматҳои хоси табдилоти хаттии решаҳои бисёраъзогии характеристикӣ мебошанд.
Дар байни табдилоти хаттӣ он табдилоте, ки вектори хоси хаттии новобаста дорад, соддатарин мебошад.
Тасаввур мекунем, ки ҳамин гуна табдилот буда, векторҳои хоси хаттӣ новобастаи он мебошанд, яъне

Векторҳои -ро ҳамчун базиси R қабул мекунем. Баробариҳои




ҳаминро ифода мекунад, ки намуди матритсаи табдилоти дар ин базис чунин мебошад: