Боби I. Мафҳумиҳои табдилоти хаттӣ ва хосиятҳои он

Ҷамъ ва зарби табдилоти хаттӣ.Бо ёрии табдилоти хаттӣ амалҳои ҷамъ ва зарбро иҷро кардан мумкин аст.
Таърифи 2.Ҳосили зарби табдилоти хаттии A ва B гуфта табдилоти C-ро меномем, ки онро пай дар пай иҷро мекунем , аввал табдилоти B-ро ва баъд табдилоти A иборат аст, яъне:
C=AB буда он чунин маъно дорад, ки барои ҳар гуна x Cx=A(Bx) мебошад.
Ҳосили зарби табдилоти хаттӣ табдилоти хаттӣ аст, яъне шартҳои ва -и таърифи 1-ро қаноат мекунонад.Инро месанҷем:

Баробарии якум дар асоси таърифи ҳосили зарб, баробарии дуюм дар асоси хосияти барои ва баробарии сеюм бошад, дар асоси худи ин хосият барои ва дар охир баробарии чорум боз ҳам мувофиқи таърифи ҳосили зарб навишта шудааст.Монанди ҳамин нишон дода шудааст, ки аст.
Агар E табдилоти воҳидӣ ва табдилоти ихтиёрӣ бошад, он гоҳ исбот кардан осон аст, ки
AE=EA=A
мебошад.
Одатан дараҷаҳои табдилоти A-ро бо ттаври зерин муайян мекунем:

Чун барои ададҳо мувофиқи таъриф E ҳисоб мекунем. Маълум аст, ки мебошад.
Таърифи 3.Суммаи табдилоти хаттии A ва B гуфта табдилоти C-ро меноманд, ки он ба ҳар як вектори x вектори Ax+Bx-ро мувофиқ мегузорад; ба ибораи дигар, C=A+B чунин маъно дорад, ки барои ҳар гуна x Сx Ax+Bx мебошад.
Хосиятҳои табдилот хатттӣ
Ҷамъ ва зарби табдилоти хаттӣ ба хосиятҳои зерин итоат мекунанд чунончи:
барои чами ду матритса қонуни комутативӣ чой дорад.
барои се матритса қонуни асосиативӣ чой дорад.
барои зарби ду матритса қонуни комутативӣ чойдорад

Аз мафҳуми зарби матритса маълум аст,ки зарби ду матритса ғайрикомутативӣ аст.Дар ҳақиқат табдилоти хатти А –ро бо матритсаи ва табдилот В-ро ишорат карда онҳоро зарб мекунем.Азбаки . Акнун ва аз ин зарб матритсаҳо маълум шудки зарби табдилоти хаттӣ ба қонунияти комутативӣ итоат намекунад
Мувофиқи хосияти табдилотҳо хаттӣ , суммаи табдилотҳои хаттӣ бо қонунияти комутативӣ (чой ивазкунӣ) итоат мекунад. Байни табдилоти хаттӣ ва матритсаҳо мувофиқати якқимата муқаррар карда шудааст, илова бар ин ба сумма ва ба ҳосили зарб ҳосили зарб мувофиқат мекунад. Инро дар мисолҳои зерин исбот мекунем:Дар ин мисол матритсаи табдилот хаттии А ва В дода шудааст.Мо чаъми ин ду матритсаҳоро дида мегузорем.
Фарз мекунем,ки матритсаҳои A= ва B дода шуда бошад, A+B мебошад:
A+B
=
Аз чами матритсаҳо маълум шудки табдилот хаттӣ ба қонуни комутативӣ итоат мекунад. A+B аст.
Аз зарби матритсаҳо маълум аст,ки зарби матритсаҳо бо қонуниятҳои комутативӣ итоат намекунад инчунин зарби табдилоти хаттӣ низ бо қонуниятҳои комутативӣ итоат намекунад яъне ғайрикоммутативӣ аст. Инро дар мисолҳои зерин месанчем:
Аз қоидаи зарби матритсаҳо маълум аст,ки барои зарби ду матритса аз қоидаи зарби матритсаҳо истифода мебарем ,барои табдилотҳои хаттӣ низ аз қоидаи зарби матритсаҳо истифода мебарем:
;


Ин қоидаро барои зарби табдилотҳои хаттӣ низ истифода мебарем фарз мекунем,ки матритсаҳои табдилотҳои зерин додашуда бошад: A= ва B
A ва

аст, бинобар он:
AB
Дар вақти зарби матритсаҳо онҳо бо қонунияти комутативӣ итоат кунад он гоҳ ин намуд матритсаҳоро матритсаҳои комутативӣ меноманд AB=BA бошад.Инро дар мисоли зерин исбот мекунем Мисол: Исбот кунед,ки матритсаи додашуда матритсаи комутативӣ аст.
A= ва B= A
, яъне: Дар ин мисол зарби матритса АВ ба ВА баробар аст яън AB=BA аст Аз мисоли додашуда маълум шуд,ки ин ду матритса комутативӣ мебошад.
Акун зарби адад ба матритсаро муайян мекунуем Ҳосили зарби табдилоти хаттии A-ро ба адади λA табдилотеро мефаҳмонад, ки он ба ҳар як вектори x вектори -ро мувофиқ мегузорад.Агар ба табдилоти хаттии A матритсаи мувофиқ ояд, он гоҳ ба табдилоти λA матритсаи мувофиқ меояд.
Бо мисолҳои зерин зарби табдилоти хаттӣ ,чаъми табдилотҳои хаттиро бо мисолу масъала татбиқ мекунем:
Мисол. Дар фазои додашудаи сеченака вектори 0), дода шуда бошад, матритсаи табдилоти хаттии -ро дар ин базис ёбед.Барои ҳалли ин мисол аз формулаи зарби табдилотҳои хаттӣ истифода мебарем ,бо ёрии ин формула матритсаи табдилоти хатти додашударо меёбем.
Ҳал:



Аз ин ҷо матритсаи:

ҳосил мешавад.
Мисоли 2. Дар фазои сеченакаи вектори х базиси 0),
ва табдилоти хаттии ,
дода шудаанд. Матритсаҳои табдилоти хаттии -ро дар базиси (1.1.4) ёбед.
Ҳал:



ва



Ҳамин тавр:
ва
ва
Аз ин ҷо: