Бухоро муҳандислик-технологи

Х₁₁ қ С₁е^{r t} ва Х₁₂ қ С₂е^{r t}

(4.3) тенгламада 3 та ҳар хил ҳолат кўриниб турибди.

1. 
   ξ > 1 бўлса, у ҳолда r₁ ва r₂ аниқ манфий сонлар бўлади.
   

Масалан, r₁ қ - a₁, r₂ қ - a₂ деб олсак,

бўлса t ∞ да Х₁ 0

Бундай система ҳаракати давриймас дейилади (расм.6)

2. 
   ξ қ 1 (критик сўниш), r₁ қ r₂ қ - р
   

Дифференциал тенгламалар курсидан маълумки, бундай ҳолатда тенглама ечими қуйидаги кўринишда бўлади.

Х₁ қ (С₁ + С₂t) e ^{-p t} ,

t ∞ да, lim x₁ қ 0 + lim

Лопитал қоидасидан фойдаланиб,

Бундай ҳаракат ҳам давриймас дейилади.

3. 
   ξ < 1 у ҳолда
   

,

бу ерда , деб белгилаймиз.

Эйлер формуласидан фойдаланиб,

е⁺¹⁰ қ cosθ ± i sinθ ва қуйидаги кўринишда ёзишимиз мумкин.

Х қ е ^{p t} (C₁ cos P₁t + iC₁sinP₁t + C₂cosP₁t – iC₂sinP₁t) қ

қ e ^{p t} [(C₁ + C₂)cos P₁t + i(C₁ – C₂)sinP₁t]

X_k силжиши аниқ узунликка эга бўлганлиги учун С₁ ва С₂

С₁ қ а – ib, C₂ қ a + ib

C₁ ва С₂ ларни тенгламада ўрнига қўйиб, қуйидагини оламиз.

Х₁ қ е ^{p t} (2a cosP₁t + 2b sinP₁t)

2a ва 2b коэффициентларни А₁ ва В₁ лар орқали белгилаб,

Х₁ қ е ^{p t} (A₁ cosP₁t + B₁ sinP₁t) (4.4)

(4.4) дан кўриниб турибдики, агар ташқи таъсир бўлмаганда система Р₁ частота билан, ξ қ 0 булганда Р частота билан тебранади.

Бундай ҳолда Р₁ – «ишқаланишсиз системанинг айланма хусусий частотаси», Р – «ишқаланишли системанинг айланма хусусий частотаси» дейилади. Айланма хусусий частотанинг ўлчов бирлиги – рад/с. Кейинги тенгламаларда Р – «хусусий частота» деб айтилади. ξ – қиймати система мувозанат ҳолатидан чиқарилгандан кейин қанчалик тез сунишини кўрсатади.

(3.5) тенгламанинг ечимини қуйидаги кўринишдан қидирамиз.

Х₂ қ А₂ sin wt + B₂ cos wt

(3.5) тенгламага қўйиб, синус ва косинус коэффициентларини танлаб, шундай ёзамиз.

Бу тенглик қониктириши учун, тригонометрик функциялар олдида турган коэффициентлар чап ва унг томонларда бир хил бўлиши керак.

Шу ердан

А ва В ларни Х ифодага қўйиб, қуйидаги тенгламани ёзамиз.

(10)