Buni har bir yosh matematik bilishi kerak

29. 𝑎⃗ va 𝑏⃗⃗ vektorlar kollinear bo‘lishi uchun 𝑎⃗ = 𝑘 ⋅ 𝑏⃗⃗ tenglik bajarilishi zarur va 
yetarli, bu yerda 𝑘 − ixtiyoriy son. 
30. Uchta vektorning komplanar bo‘lishi uchun ulardan birining qolgan ikkitasi 
orqali chiziqli ifodalanishi zarur va yetarli (𝑎⃗ = 𝑥 ⋅ 𝑏⃗⃗ + 𝑦 ⋅ 𝑐⃗, bu yerda 𝑥, 𝑦 − 
ixtiyoriy sonlar). 
31. Ixtiyoriy vektorni uchta nokomplanar vektorlarga yagona usulda yoyish 
mumkin. 
32. Agar 𝑀 nuqta − 𝐴𝐵 ning o‘rtasi bo‘lsa, unda
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
(𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
2
bo‘ladi. 
33. Agar 𝑀 nuqta − 𝐴𝐵 ning o‘rtasi, 𝑁 − 𝐶𝐷 ning o‘rtasi bo‘lsa, unda
𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
(𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
2
bo‘ladi. 
34. Agar 𝑀 nuqta 𝐴𝐵𝐶 uchburchak medianalari kesishgan nuqta bo‘lsa, unda 
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
(𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
3
bo‘ladi. 

---

18 
35. Agar 𝑀 nuqta 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogrammning diagonallari kesishgan nuqta bo‘lsa, 
unda
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
(𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
4
bo‘ladi. 
36. Kesma o‘rtasining koordinatalari bu kesma uchlarining mos koordinatalari 
o‘rta arifmetigiga teng. 
37. Vektorlar skalyar ko‘paytmasining xossalari. 
a) 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ ⋅ 𝑎⃗; 
b) 𝛼 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ = 𝛼(𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗); 
d) 𝑎⃗ ⋅ (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) = 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗ ⋅ 𝑐⃗; 
e) |𝑎⃗| = √𝑎⃗
2
; 
f) (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗)
2
= 𝑎⃗
2
+ 2 ⋅ (𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗) + 𝑏⃗⃗
2
; 
g) (𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗)
2
≤ 𝑎⃗
2
⋅ 𝑏⃗⃗
2
, bu yerda tenglik faqat va faqat 𝑎⃗ va 𝑏⃗⃗ vektorlar kollinear 
bo‘lgandagina bajariladi; 
h) Noldan farqli 𝑎⃗ va 𝑏⃗⃗ vektorlar faqat va faqat ularning skalyar ko‘paytmasi 
nolga teng bo‘lgandagina perpendikulyar bo‘ladi. 
38. 𝐴(𝑥
1
; 𝑦
1
; 𝑧
1
)
va 𝐵(𝑥
2
; 𝑦
2
; 𝑧
2
)
nuqtalar orasidagi masofa quyidagiga teng 
√(𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+ (𝑦
2
− 𝑦
1
)
2
+ (𝑧
2
− 𝑧
1
)
2
. 
39. Agar noldan farqli 𝑎⃗(𝑥
1
; 𝑦
1
; 𝑧
1
)
va 𝑏⃗⃗(𝑥
2
; 𝑦
2
; 𝑧
2
)
vektorlar orasidagi burchak φ 
bo‘lsa, unda 
cos φ =
𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑦
1
𝑦
2
+ 𝑧
1
𝑧
2
√𝑥
1
2
+ 𝑦
1
2
+ 𝑧
1
2
√𝑥
2
2
+ 𝑦
2
2
+ 𝑧
2
2
bo‘ladi. 
40. Nolga teng bo‘lmagan 𝑛⃗⃗(𝑎; 𝑏; 𝑐) (normal) vektorga perpendikulyar va 
𝑀
0
(𝑥
0
; 𝑦
0
; 𝑧
0
)
nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi quyidagicha bo‘ladi 
𝑎(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑏(𝑦 − 𝑦
0
) + 𝑐(𝑧 − 𝑧
0
) = 0 
41. Nolga teng bo‘lmagan 𝑚
⃗⃗⃗(𝑎; 𝑏; 𝑐) (yo‘naltiruvchi) vektorga parallel va 
𝑀
0
(𝑥
0
; 𝑦
0
; 𝑧
0
)
nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning parametrik ko‘rinishi 
quyidagicha bo‘ladi: 
{
𝑥 − 𝑥
0
= 𝑎𝑡,
𝑦 − 𝑦
0
= 𝑏𝑡,
𝑧 − 𝑧
0
= 𝑐𝑡.
42. Ikki tekislikning kesishishidan hosil bo‘lgan to‘g‘ri chiziq quyidagi sistema 
ko‘rinishida beriladi: 
{
𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷
1
= 0,
𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷
2
= 0,
bu yerda 𝐴
1
2
+ 𝐵
1
2
+ 𝐶
1
2
≠ 0 va 𝐴
2
2
+ 𝐵
2
2
+ 𝐶
2
2
≠ 0. 

---

19 
43. Agar 𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷
1
= 0 va 𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷
2
= 0 tekisliklar 
orasidagi burchak φ bo‘lsa, u holda 
cos φ =
𝐴
1
𝐴
2
+ 𝐵
1
𝐵
2
+ 𝐶
1
𝐶
2
√𝐴
1
2
+ 𝐵
1
2
+ 𝐶
1
2
√𝐴
2
2
+ 𝐵
2
2
+ 𝐶
2
2
bo‘ladi. 
44. Tekislikning “kesmalardagi” tenglamasi. Agar tekislik koordianata 
o‘qlarini 𝐴(𝑝; 0; 0), 𝐵(0; 𝑞; 0) va 𝐶(0; 0; 𝑟) (𝑝; 𝑞; 𝑟 ≠ 0) nuqtalarda kesib o‘tsa, 
unda bu tekislik tenglamasini quyidagchi yozish mumkin: 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
+
𝑧
𝑟
= 1 
45. Agar 𝑀
0
(𝑥
0
; 𝑦
0
; 𝑧
0
)
nuqtadan 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tekislikkacha masofa ρ 
bo‘lsa, u holda 
ρ =
|𝐴𝑥
0
+ 𝐵𝑦
0
+ 𝐶𝑧
0
+ 𝐷|
√𝐴
2
+ 𝐵
2
+ 𝐶
2
bo‘ladi. 
To‘g‘ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi. 
46. To‘g‘ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik alomati. Agar to‘g‘ri 
chiziq kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarga perpendikulyar bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziq ular 
yotgan tekislikka ham perpendikulyar bo‘ladi. 
47. Agar ikkita to‘g‘ri chiziq bitta tekislikka perpendikulyar bo‘lsa, u holda ular 
parallel bo‘ladi. 
48. Agar ikki parallel to‘g‘ri chiziqlardan bittasi tekislikka perpendikulyar bo‘lsa, 
u holda ikkinchisi ham bu tekislikka perpendikulyar bo‘ladi.