D. K. S. Makdonald. Termoelektrik hodisalar negiziga kirish

2.3.3. Toza metallarda past temperaturalar.

Past haroratlarda (T θ) panjara tebranishlariga (yoki fononlar) tegishli to’lqin uzunligi haddan tashqari uzun bo’lib ketadi. Ehtimol, qo'pol ravishda, bu T( 0) haroratda dominant fonon chastotasi quyidagicha beriladi:

hν (47a)

yoki undanda qo'polroq:

, (47b)

bu yerda a₀ - atomlararo oraliq. Agar biz fononlarga impuls berish uchun de'Brogli munosabatlaridan bemalol foydalansak p=h/λ, bizda hosil bo’ladi:

, (47c)

tipik metalldagi erkin elektronning impulsi taxminan quyidagicha bo’ladi:

.

51-bet.

14-rasm. Oddiy metallda "normal" elektron-fonon to'qnashuvi uchun to'lqin vektor diagrammasi; boshlang'ich to'lqin vektori k (impuls h/2a₀)bo'lgan o'tkazuvchanlik elektron q (impuls 2hT/a₀θ) to'lqin vektorining fononini o'zlashtiradi va natijada elektron to'lqin vektori k’ bo'ladi. Kichik burilishlar uchun burchak , agar bu erda bo'lsa.

Shunday qilib, juda past haroratlarda (T) fononni chiqarish yoki yutish paytida erkin elektronning impuls o'zgarishi odatda juda kichik bo'ladi, va elektron traektoriyasining taxminan 4T/θ ga (14-rasmga qarang) teng bo'lgan maksimal burchak burilish(og’ishi) ψ o'z ichiga oladi, lekin energiya o'zgarishi 47a-tenglamadan aniq kT tartibida bo'ladi.

52-bet.

Shunday qilib, taxminan aytganda, T haroratda bitta elektron-fonon to'qnashuvi elektronlarni energetik muvozanatga keltirish uchun har doim etarli bo'ladi, lekin past haroratlarda elektronning harakat yo'nalishini sezilarli darajada o'zgartirish uchun elektron-fonon to'qnashuvlarining katta sonini talab qilishi mumkin. (ko’pgina elektron-fonon to'qnashuvlarini talab qilishi mumkin). Umuman olganda, bu shuni anglatadiki, agar faqat elektron-fonon to'qnashuvi sodir bo'lsa, past haroratlarda impuls muvozanatining sustlasishish vaqti juda uzoq bo'lishi mumkin va harorat farqiga hos bo’lgan energiya farqlari juda tez yoq bo’lib ketishi ham mumkin. Aks holda ifodalangan bo'lsa, bu shuni anglatadiki, f elektron taqsimot funksiyasining muvozanatga qaytish tezligi asosan mavjud bo'lgan muvozanatdan og'ish turiga bog'liq bo'ladi; boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bu 29-eq.ga muvofiq (3) taxminga zid keladi. Aks holda ifodalangan bu f elektr taqsimot funksiyasining muvozanatga qaytish tezligi, keyin mavjud bo’lgan muvozanatdan og’ish turiga bog’liq bo’ladi, boshqacha aytganda, bu 29-tenglamadan keyingi ta’riflardagi (3) taxminga zid keladi. Shuning uchun biz to'qnashuv terminini (df/dt)_to’qnashuv batafsilroq tekshirishimiz kerak. Keyin paydo bo'ladigan Boltsman tenglamasini yechish masalasini ham ko'rib chiqishimiz kerak.
TO’QNASHUV INTEGRALI. Bu erda o'tkazuvchanlik elektronining holatini v tezlik bilan emas, balki to'lqin vektori k orqali aniqlash odatiy va qulayroqdir. Mukammal erkin elektronlar uchun k=mv/h. Elektron taqsimoti dn(24-tenglamaga qarang) endi to'lqin vektori nuqtai nazaridan f taqsimlash funktsiyasi bilan bog'liq:


(24a)

Bu erda dk=dk_x dk_y dk_z va dr=dx dy dz lar 2 omil bo’lib, har bir elektron holatning qarama-qarshi spinli ikkita elektron tomonidan ishg'ol qilinishiga ishora qiladi.

53-bet.

Tegishli ravishda taqsimot funksiyasining f₀ to'lqin vektori bo'yicha "muvozanat" qiymati oddiygina berilgan:


. (26a)

(26-tenglama bilan solishtiring.)

Endi faraz qilaylik, k holatdagi bitta elektron, boshqalari bo'lmaganda, "to'qnashuvlar"ga duch kelishi mumkin, bu esa uni k' holatga "sakrash"iga olib keladi va bu holatning vaqt birligidagi ehtimolligi W(k,k’) ga teng. U holda f taqsimot funksiyasining o'zgarish tezligi quyidagicha ifodalanadi:


. (48)

(1931, Nordheim bilan solishtiring.)

Shuni ta’kidlaymiz:

1. 
   O'ng tomondagi birinchi ifoda elektronlarni k holatidan boshqa har qanday k' holatiga olib tashlaydigan to'qnashuvlarga mos keladi (va shuning uchun k' ning barcha qiymatlari bo'yicha integratsiya ko'rsatilgan).
   
2. 
   O’ng tomondagi ikkinchi ifoda elektronlarni har qanday k' holatidan, ko'rib chiqilayotgan muayyan(oldingi) k holatga keltiruvchi to'qnashuvlarga mos keladi.
   
3. 
   1 omilda f Paulining istisno qilish prinsipidagi to’qnashuv o’tishlariga o’ziga xos ta'sirini hisobga oladi. Shunday qilib, masalan, agar k' holat to'liq band bo'lsa, f(k')=1 bo'ladi va bu holatga o'tish mumkin emas.
   

54-bet.

W(k,k’) o'tish ehtimolini hisoblash hamda elektronlar va panjara tebranishlari o'rtasidagi o'zaro ta'sirni tavsiflash, tanlangan modelning tafsilotlariga bog'liq va to'liq muhokama qilish uchun standart darsliklarga murojaat qilish kerak. (Uilson 1936,1953; Mott va Jones 1936; yoki Ziman 1960, kabilar). Ba'zi bir xususiyatlar umumiydir; keeling, shuning uchun Uilson (1936)taklif qilgan metallni namuna sifatida olamiz. Agar biz panjara tebranishlari uchun garmonik modelni qabul qilsak, u holda elektron o'tish ("to'qnashuv") faqat to'lqin raqami q bo'lgan xarakterli panjara tebranishining issiqlik energiyasi bir kvant energiya (hν_q) ga kamayganida yoki ko'payganida sodir bo'ladi. Bir vaqtning o'zida k holatdan k' holatga o'tishda elektron mos keladigan energiya kvantini oladi yoki yo'qotadi. Bu almashinadigan energiya kvanti to'g'ridan-to'g'ri yuqorida tez-tez tilga olingan "fonon" ga to'g'ri keladi. Agar bundan tashqari to’qnashuvning “oddiy” turi bilan cheklab qo’ysak, u holda elektron to'lqin-vektorning o'zgarishi oddiygina q bo'ladi(14-rasmga qarang). Shunday qilib:


k’=k±q (49)

fononning elektron tomonidan "yutilishi" (+q)ga yoki "emissiyasi" (-q) ga mos keladi. Ushbu turdagi rasm yordamida (masalan, Uilson 1936) elektronning yutilishi (W(+)) yoki chiqarishi (W(-)) uchun vaqt birligiga o'tish ehtimoli q to'lqin raqami fononi asosan quyidagi shaklda ekanligini aniqlaydi:

(50a)


(50b)

bu erda C - o'tkazuvchanlik elektronlari va panjara ionlari orasidagi o'zaro ta'sir kuchini aniqlaydigan o'zaro ta'sir energiyasi. Umuman olganda, o'tish ehtimollari bunday o'zaro ta'sir energiyasining kvadratini o'z ichiga oladi, ammo buni to'g'ri baholash murakkabroqdir. Ko'pincha C ni eng past o'tkazuvchanlik holatida o'lchanadigan elektronlarning Fermi energiyasi 𝜻 bilan bir xil tartibda qabul qilish mumkinligi taklif qilinadi.

55-bet.