D. K. S. Makdonald. Termoelektrik hodisalar negiziga kirish

N_q - q panjara rejimining "qo'zg'alish" raqami va issiqlik muvozanatida: .


- tegishli kristaldagi atomlar soni. Bu oxirgi javobda aniq ko'rsatilmaydi, chunki biz panjara tebranishlarining barcha normal rejimlaridan tarqalishiga hissa qo'shishimiz kerak va ularning umumiy soni ga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.
M - tarqalish uchun mas'ul bo'lgan panjara ionining massasi.
v - elektronning (guruh) tezligi. Oxir oqibat, har qanday transport xususiyatini aniqlashda bu tezlik Fermi energiyasiga-𝜻 ga mos keladigan v_𝜻 tezligi bo'ladi.
Biz to'qnashuv integralini berish uchun 50a va 50b-tenglamalarini 48-tenglamaga almashtirishimiz kerak. Bu, 28-tenglamaning o'ng tomonidagi yechishimiz kerak bo'lgan to'liq transport tenglamasini taqdim etadi.
BOLTSMAN TENGLAMASINI YECHISH
Agar biz o'zimiz "yuqori" haroratga ega bo'lsak, bu analitik jihatdan kT/hν_q 1 ni belgilashga to’g’ri keladi, lekin aslida T/θ 1 qattiq cheklovni kamroq talab qiladi, keyin to'qnashuv integralini o'z ichiga olgan 48-tenglama ijobiy yaqinlik bilan kamayadi:


; (51)

bu yerda, agar biz hali ham Uilsonga (1936) murojaat qiladigan bo’lsak, τ(E) quyidagicha ifodalanadi:

; (52)

Δ - birlik atom yacheyka hajmi, m^⁎ - effektiv elektronning massasi (E=h²K²/2m^⁎ bilan belgilanadi, bu erda K - elektronning to'lqin raqami). Elektron panjara o'zaro ta'sirining boshqa modellari uchun τ 52-tenglamadagi kabi atom parametrlariga o'ziga xos bog'liqlikka ega bo'lmaydi va xususan uning elektron energiyasiga bog'liqligi biroz farq qilishi mumkin.

Umuman olganda, biz doimo T ga teskari proportsional va elektron energiyasiga o'rtacha darajada bog'liq bo'lgan yuqori haroratdagi relaksatsiya vaqtini topishni kutishimiz kerak. 52-tenglamaning muhim xususiyatlari shundaki τ 1/T ga proportsionaldir va elektron energiyasi E ning qandaydir oddiy kuchiga bog'liq.

56-bet.

Shunday qilib, yuqori haroratlarda to'qnashuvlarni tuzatish uchun oddiy relaksatsiya vaqtidan foydalanish to’g’riroq, relaksastsiya vaqtidan foydalanib † va S termoEYuKni to'g'ridan-to'g'ri transport tenglamasining rasmiy yechimidan to’g’ridan-to’g’ri olishimiz mumkin hamda xususan – τ ni 38-tenglamadan. Aniqroq aytganda, 1-bobda (16a tenglama) ko'rsatilganidek, biz quyidagilarni topamiz:


,


E bilan n(E), v(E), t(E)lar juda tez o'zgarmas ekan. Erkin elektronlar uchun bizda:
n(E) E^1/2, v² E;

va 52 tenglamadan C ni qat'iy doimiy ‡τ E^3/2deb faraz qilgan holda, bularning barchasi yuqori haroratlarda S uchun tez-tez keltirilgan natijani beradi:

.
Biroq, umuman olganda, to'qnashuv integrali 51-tenglamaning oddiy shakliga tushmaydi va transport tenglamasining butun muammosini ancha jiddiyroq hal qilish kerak.
Bunday hollarda yondashuvning ikki xil keng usuli mavjud.
BOLTSMAN TENGLAMASINING XUSUSIY YECHIMI.
Muayyan sharoitlarda transport tenglamasining yechimini izlash mumkin (umuman olganda, bu integral-differensial tenglamadir); shunday qilib, masalan, juda past haroratlarda bo’ladi. Shu tariqa sezilarli tahlildan so‘ng elektr o‘tkazuvchanligi τ, issiqlik o‘tkazuvchanligi k va mutlaq termoelektr quvvati S ning yechimlari topiladi.

57-bet.

Yuqoridagi kabi bir xil turdagi modeldan foydalanib (1936, Uilsonga qarang), past haroratlarda kvazi-erkin elektron metallning elektr o'tkazuvchanligi topiladi:

(53)

bu erda J₅ ning integrali:

. (54)

Etarlicha past haroratlarda J₅ doimiy bo'ladi va 124,4 ga teng, ρ(=1/σ) qarshilik esa T⁵ ga tushadi. Umuman olganda, birinchi marta Xyuston(1928, 1929) va Bloch (1928, 1929, 1930) tomonidan, Sommerfeldning (1928) kashfiyotidan keyin past haroratning T⁵ ga bog’liqligi haqidagi bashorat yaratilgan, 53-tenglamaning miqdoriy aniqligini ishonchli baholash qiyinroq bo'lsa-da, ko’pgina metallarda bu bog’liqlik juda yaxshi bajariladi. Xususan, yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, C ning qiymati shubhaliroq va bundan tashqari, biz muhokamani "normal" elektron-fonon to'qnashuvlari bilan cheklaganimizni ham eslaymiz. Shuning uchun birinchi navbatda 53-tenglamani sifat jihatidan ko'rib chiqilishi kerak.

53-tenglama tomonidan ko’rsatilgan ρ ning T⁵ bilan juda past haroratlarda umumiy yemirilishini, agar 50a va 50b tenglamalarga nazar tashlasak, umumiy asoslarda tushunish mumkin. Taxminan aytganda, bu tenglamalar har qanday haroratda elektronning tarqalishida mavjud bo'lgan N_q fononlar soniga bog'liq bo'lishini anglatadi. "Yuqori" haroratlarda _q> T har bir normal rejim panjara tebranishi q uchun va shu sababli qattiq jism ustidagi o'rtacha Nq ham T ga proportsionaldir. Shunday qilib, biz aniqlaganimizdek, T ga mutanosib elektr qarshiligini kutamiz. Biroq, past haroratlarda:


; (55a)
58-bet.

shunday qilib, panjara tebranishlarining Debayga o'xshash spektrini nazarda tutsak,

; (55b)

va shunday qilib, qo'pol qilib aytganda, biz elektronni (T/θ)³ ga proportsional tezlikda to'qnashuvini kutamiz. Biroq, bu to'qnashuvlarning har biri, biz ilgari ko'rganimizdek (yana hozir Umklap jarayonlarini e'tiborsiz qoldirib), taxminan 4T/θ maksimal burchak orqali electronni og’dirishi mumkin (47 va 14-rasm), shunday qilib, agar har bir kichik burchakli burilish avvalgisi bilan bo’liq bo’lmasa, birlik tartibining aniq burchak burilishiga erishish uchun bu to'qnashuvlarning soni bo'yicha (θ/T)² tartibi kerak bo'ladi. Umuman ushbu ikki omilni birlashtirilganda, biz elektr qarshiligining T⁵ sifatida parchalanishini kutishimiz mumkinligini ko'ramiz.

Boshqa tomondan, metalning termal qarshiligi bo’lsa, biz har bir to’qnashuv xatto past haroratlarda ham issiqlik oqimini “to’xtatish” uchun yetarli bo’lishini kutishimiz mumkin, chunki yuqorida aytib o'tganimizdek, har bir elektron-fonon to'qnashuvida burchak og'ishi juda kichik bo'lsa ham, kT tartibida energiya almashinuvini o'z ichiga oladi. Elektronlarning o'ziga xos issiqligi juda yuqori haroratlarda kutilgan T ga mutanosib bo'lib qolishi kerak, † va shuning uchun Drudening 22-tenglamasidan k ga biz sifat jihatidan (T)(θ/T)³ ni bog'liq bo'lishini kutamiz. Demak, biz past haroratlarda (T ) kutamiz: k (1/T)² yoki W T², bu erda W - issiqlik qarshiligi. Bu haqiqatdan ham batafsil hisob-kitoblar bilan tasdiqlanadi, lekin yuqori haroratdan past haroratga tushganimizda k ning haroratga to’liq bog'liqligi, shuningdek, past haroratlarda k ning haqiqiy kattaligini hisobga olishda hali ham bir oz qiyinchilik mavjudligi bizga ma’lum.

59-bet

Shuningdek, bu dalillar, past haroratlarda sof metallarda Lorenz soni L doimiy bo'lmasligini, aksincha, quyidagicha o'zgarishini ko'ramiz:


. (56)
Past haroratlarda L ning T ga umumiy bog'liqligi eksperimental ravishda sof metallda topilgan (15-rasmga qarang) va yana bir bor elektr o'tkazuvchanligi uchun relaksasiya mexanizmini to'g'ridan-to'g'ri tasdiqlaydi.
Uilson juda past haroratlarda sof metallarning termoelektrik kuchiga murojaat qilib, juda oddiy natijani topdi:
,

bu yuqori haroratlar uchun u taklif qilgan ifodaning uchdan bir qismidir (56-bet).

15-rasm. Ikki namunadagi eksperimental ma'lumotlardan olingan ideal sof natriy metall uchun Lorens raqami (oq va qora rangli doirachalarda ko’rsatilgan). Yuqori haroratlarda egri chiziq taxminan 2,5x10^-8(V/K)² chegara qiymatiga yaqinlashadi. Past haroratlarda egri chiziq harorat bilan ko'proq yoki kamroq kvadratik ravishda nolga yaqinlashadi. (Berman va MacDonald, 1951,1952.)

60-bet.

E'tibor qilish kerak bo'lgan eng muhim jihat shundaki, biz "yuqori" haroratdan "past" haroratga o'tganimizda (har doim elektron-fononlarning tarqalishini dominant deb, hisoblasak) elektr va elektron issiqlik qarshiligi sezilarli darajada o'zgargan bo'lsa-da, mutlaq termoelektrik elektron diffuziya quvvati sifat jihatidan bir xil bo'lib qoladi; xususan, S ikkala harorat mintaqasida T bilan chiziqli bog'liq bo’ladi. Yuqori haroratlarda klassik xatti-harakatlardan past haroratlarning kvant mintaqasiga o'tishda muhim o'zgarish shundaki, biz past haroratlarda fononning emissiyasi yoki yutilishi natijasida egiluvchan bo'lmagan elektronlarning tarqalishini doimo diqqat bilan hisobga olishimiz kerak, ammo etarlicha yuqori haroratlarda tarqalishni mohiyatan elastik xarakterga ega deb hisoblashimiz ham mumkin (2.3.2 bo’lim va 48-betdagi izohga qarang.).
Juda past haroratga o'tilganida diffuziya termoEYuKi xarakter jihatidan sezilarli darajada o'zgarmasligi haqida 1-bobda ta'kidlangan, demak elektron birinchi navbatda o'ziga xos issiqlik bilan bog'liq ekanligini bildiradi (8 va 9-tenglamalarga qarang) va degeneratsiyalangan Fermi gazi uchun harorat bilan chiziqli bo'lib qoladi. Biroq, keyingi muhokamada (2.3.5-bo'lim) bugungi kunda maxsus sharoitlarda noelastik sochilish diffuziya termoEYuKi xatti-harakatiga juda keskin ta'sir qilishi mumkinligiga ishonishimizga olib kelishini ko'ramiz.
Variatsion usul. Boltsman tenglamasini yechishning muqobil yondashuvi - variatsion usul deb ataladi. (Kohler(1948,1949a); Sondheimer (1950); va Kroll (1933)). Ushbu holatda buzilgan elektron taqsimot funksiyasi uchun alohida bir shakldagi sinash funksiyasi, ma'lum tuzatish parametrlari bilan birgalikda yechim uchun qabul qilinadi. Keyin sinash funksiyasining qabul qilingan shakliga mos keladigan eng yaxshi yechim sinash funksiyasi ishtirokidagi maʼlum bir integral ifodani maksimal yoki minimal (yaʼni “ekstremal”) boʻlishiga olib kelinishidir, deb bahslashish mumkin. Transport tenglamasini yechish masalasi ushbu entropiyaga o’xshagan xususiy ifodani extremal shaklga keltirish uchun taqsimlash funksiyasining mos keladigan qiymatlarini topishga aylanadi.
Prinsipial jihatdan, tahlilni kengaytirish usullaridan foydalangan holda istalgan aniqlik tartibida amalga oshirish mumkin va batafsil ma'lumot olish uchun Uilson (300 bet, 1953) yoki Ziman ning standart darsliklariga murojaat qilish kerak (1960).

61-bet.

Muhim xususiyati shundaki, variatsion usul har qanday transport muammosiga standart yondashuv usulini ta'minlaydi va haqiqatan ham murakkabroq vaziyatlarni hal qilish uchun kengaytirilishi mumkin. Shunday qilib, masalan. Bailyn (1960) va Ziman (1959a, 1960) sudralish muammolarini hal qilish usulini kengaytirdilar va yaqinda Beylin (1961) elektronlarning magnit ion eritmalari (oʻtish metall elementlari) bilan oʻzaro taʼsiri tufayli tarqatish funksiyasiga elektron oʻtkazuvchanlik spinlari statistikasini kiritish zarur boʻlgan vaziyatlarni hal qilish uchun qoʻlladi (69-betga qarang). Yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, oldingi muhokamadagi xulosalarimiz panjara tebranishlarining o'zi asosan issiqlik muvozanatida ekanligini yoki boshqacha qilib aytganda, "sudralish" ta'sirini e'tiborsiz qoldirishimiz mumkinligini ham taxmin qiladi.