Darsning texnologik xaritasi Darsning maqsadi

Misol.
Isbot. Zarurligi. funksiya nuqtada xosilaga ega bo’lsin. Xosila ta’rifiga ko’ra

ya’ni
(2)
bo’ladi. Bu yerda



bo’lib, esa va larga bog’liq va ular nolga intilganda nolga intiladi
.
yendi hamda larni

deb, (2) tenglikni quyidagicha yozamiz:

Bu tenglikdan, xaqiqiy hamda mavhum qisimlarini tenglab topamiz:
(3)
Demak, va funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi. Ayni paytda funksiya nuqtada ma’noda differensiallanuvchi bo’ladi.
Modomiki, funksiya nuqtada xosilaga ega ekan, unda , jumladan
bo’lganda ham

nisbatning limiti har doim ga teng bo’laveradi. (3) tengliklar bo’lganda
(4)
bo’lganda esa
(5)
tengliklarga keladi.
(4) munosabatdan

(5) munosabatdan esa

bo’lishini topamiz. Bu tengliklardan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik funksiya nuqtada ma’noda differensiallanuvchi bo’lib, teoremada keltirilgan ikkinchi shart bajarilsin. va funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi bo’lgani uchun

bo’ladi. Bu yerda da larning har biri nolga intiladi. U holda

bo’ladi. Teoremani ikkinchi sharti

dan foydalanib topamiz:


Bu tenglikdan esa
(6)
bo’lishi kelib chiqadi.
Keyingi tenglikdagi

ifoda uchun


bo’ladi, chunki da ya’ni da

shuni e’tiborga olib (6) tenglikda da limitga o’tib

bo’lishini topamiz. Demak., funksiya nuqtada xosilaga ega va

bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.