Darsning texnologik xaritasi Darsning maqsadi

Eslatma. Yuqorida keltirilgan teorema funksiya xosilasining mavjudligini tasdiqlabgina qolmasdan, uni hisoblash yo’lini ko’rsatadi:

Misol. funksiya ixtiyoriy nuqtada xosilaga ega bo’ladimi.

bu funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi.
Ikkinchi tomondan.

bo’lib,

Demak, funksiya nuqtada xosilaga ega.
Faraz qilaylik, funksiya , nuqtada ma’noda differensiallanuvchi bo’lsin. Ushbu

ifoda funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi deyiladi va kabi belgilanadi:

Ravshanki,

shuni etiborga olib topamiz:

Demak,
(7)
Quyidagicha

o’zgaruvchilarni olaylik. Ravshanki,

bu tengliklardan
(8)
bo’lishini topamiz. (7) va (8) tengliklardan


bo’lishi kelib chiqadi.

Agar

(9)
ko’rinishda belgilansa unda funksiya differensiyali uchun ushbu.

tenglikka kelamiz.
Aytaylik, va funksiyalar biror nuqtada Koshi-Riman shartlarini bajarsin:

Unda (9) tenglikka ko’ra shu nuqtada

aksincha, funksiya uchun biror nuqtada

bo’lsin. Ravshanki (9) tenglikka ko’ra shu nuqtada

bo’ladi.
Demak, biror nuqtada Koshi-Riman shartlarining bajarilishi shu nuqtada

tenglikning o’rinli bo’lishiga ekivalent ekan.
Agar funksiya nuqtada xosilaga ega bo’lsa, shu nuqtada bo’lib, funksiyaning xosilasi

differensiyali esa

ko’rinishda bo’ladi.
Kompleks analizda xosilaga ega bo’lgan funksiyalar differensiyallanuvchi funksiyalar deyiladi.
Faraz qilaylik, funksiya biror sohada berilgan bo’lsin.
4-ta’rif: Agar funksiya nuqtaning biror atrofida differensiyalanuvchi bo’lsa, nuqtada gollomorf (yoki analitik) deb ataladi.
5-ta’rif: Agar funksiya sohoning har bir nuqtasida golomorf bo’lsa, funksiya sohada golomorf deyiladi.
Odatda sohada golomorf bo’lgan funksiyalar sinfi kabi belgilanidi.