Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Шякил 

2

2

2

2

4

3

2

1

1

1

~

RZ

Z

cR

c

c

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

=

∞

ν

λ

ν

.                 (56.14) 

Buradan 

Z

R

⋅

=

4

3

ν

 

   

         (56.15) 

alınır. (56.15)-də  R=c

⋅R

∞

  işarə edilmişdir. Deməli, hidrogenəbənzər atomların 

spektrlərindəki xətlərin tezliyinin kvadrat kökü uyğun atomun Z  sıra nömrəsi ilə düz 

mütənasib olaraq artır. Bu, hidrogenəbənzər atomlar üçün Mozli qanunudur (Ё32). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        Cədvəl 56.2. 

λ

, Å 

Z 

Atom və ya 

ion 

Hesablanmış Müşahidə olunmuş 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

 

HI 

HeII 

LiIII 

BeIV 

BV 

CVI 

1215,67 

  303,80 

  135,01 

    75,94 

    48,58 

     33,74 

1215,67 

  303,78 

  135,02 

    75,94 

    48,58 

    33,74 

 

 

Nəhayət, bir məsələni də qeyd edək ki, əks işarəli yükə malik olan iki hissəcikdən 

ibarət olan bütün mikroskopik sistemlər də hidrogenəbənzər sistemlər adlanır. Məsələn, 

müsbət yüklü nüvədən və  mənfi yüklü mezondan ibarət olan mezoatomlar, elektron və 

pozitrondan ibarət olan pozitronium belə sistemlərdəndir. Birmezonlu mezoatomlardan 

başqa, iki və daha çox mezon daxil olan çoxmezonlu mezoatomların da mövcud olması 

prinsipcə mümkündür. Hidrogenəbənzər belə sistemlər hidrogen atomundan və 

 

301

hidrogenəbənzər ionlardan gətirilmiş kütlənin qiymətinə görə fərqlənirlər. Onların enerji 

səviyyələri və spektrləri də hidrogen atomunun enerji səviyyələrinə və spektrinə oxşardır. 

Onlar yalnız enerji şkalasının və tezlik şkalasının miqyası ilə bir-birindən fərqlənir. 

Dayanıqsız hissəciklərdən təşkil olunmuş hidrogenəbənzər sistemlər, yəni 

mezoatomlar və pozitronium üçün enerji səviyyələri və mümkün olan keçidlər (55.6) və 

(55.12) düsturları ilə  təyin olunur. Bu düsturlara daxil olan Ridberq sabitində  m kütləsi 

əvəzinə hidrogenəbənzər sistemin 

2

1

2

1

M

M

M

M

m

+

⋅

=

 

   

          (56.16) 

gətirilmiş kütləsini yazmaq lazımdır. Burada M

1

 və M

2

 – hidrogenəbənzər sistemi təşkil 

edən hissəciklərin kütləsidir. 

Mezoatomlar üçün M

1

 – mezonun, M

2

 isə nüvənin kütləsidir. Mezonun kütləsi 

elektronun kütləsindən bir neçə yüz dəfə çox olduğundan (məsələn, 

µ

 – mezonun kütləsi 

elektronun kütləsindən 208 dəfə, 

π

 – mezonun kütləsi isə 276 dəfə çoxdur), enerjilərin və 

tezliklərin də miqyası bir neçə yüz dəfə artır. Nəticədə enerjilər fərqinin 1 eV  tərtibli 

qiyməti  əvəzinə 

∼10

3

 eV  tərtibli qiymət alınır ki, buna da yumşaq rentgen şüaları 

oblastında baş verən keçidlər uyğun gəlir. Qeyd edək ki, belə keçidləri müşahidə edə 

bilmişlər. Mezoatomların mövcudluğunun və onların spektrlərinin müşahidə olunmasının 

mümkünlüyü onunla əlaqədardır ki, mezonların yaşama müddəti spektral xətlərə uyğun 

rəqslərin perioduna nisbətən xeyli böyükdür. 

Eyni  m

el.

 kütləsinə malik olan iki hissəcikdən ibarət olan pozitronium üçün (56.16) 

düsturu ilə hesablanan gətirilmiş kütlə 

2

.

ел

m

m

=

 olur və ona görə də enerji və tezliklərin 

miqyası iki dəfə azalır, yəni düsturlara R

∞

/2 sabiti daxil olur. Məsələn, Layman 

seriyasının birinci xəttinə  (k=1,  n=2) uyğun dalğa uzunluğu 

λ

=2431  Å olmalıdır (Z=1 

götürmək lazımdır). 

 

 

Ё57. Bor-Zommerfeld nəzəriyyəsi 

 

Əvvəlki paraqraflarda Bor nəzəriyyəsinin doğruluğunu təsdiq edən və  həm də bu 

nəzəriyyəyə  əsasən izah oluna bilən çoxlu sayda hadisələri nəzərdən keçirdik. Məlum 

oldu ki, bu nəzəriyyə bir çox məsələləri müvəffəqiyyətlə  həll etməyə imkan verir. 

Zommerfeld Bor nəzəriyyəsini daha da inkişaf etdirdi. Belə ki, Bor nəzəriyyəsində 

elektronun yalnız dairəvi orbitlər üzrə  hərəkət etdiyi fərz olunduğu halda (Ё55), 

Zommerfeld elliptik orbitlərin də mümkün olduğunu nəzərə almış  və  məsələni daha 

ümumi şəkildə həll etmişdir. Bunun üçün isə Ё54-də göstərilmiş kvantlanma qaydalarını 

təkmilləşdirmək lazım gəldi. Doğrudan da, elektron çevrə üzrə  hərəkət etdiyi zaman 

sərbəstlik dərəcəsi bir olan sistem üçün kvantlanma şərtinə baxmaqla kifayətlənmək olar. 

Əgər elliptik orbitləri də nəzərə almaq istəsək, onda sərbəstlik dərəcəsi iki olan hal üçün 

kvantlanma  şərtindən istifadə etməliyik. Çünki ellips üzrə  hərəkət edən elektronun 

vəziyyəti iki parametrlə, yəni ellipsin fokusundan olan r  məsafəsi və 

ϕ

 polyar bucağı 

(azimut) ilə  təyin olunur (şəkil 57.1). Əgər orbitin fəzada yönəlməsini də  nəzərə almaq 

istəsək, onda elektronun üç dənə sərbəstlik dərəcəsinin (r,

θ

,

ϕ

) hamısı nəzərə alınmalıdır. 

 

302 

Beləliklə, həll edilməsi vacib olan əsas 

məsələ, yəni sərbəstlik dərəcəsi çox olan sistemlər 

üçün kvantlanma qaydalarının (şərtlərinin) 

tapılması  məsələsi qarşıya çıxır. Bu məsələni ilk 

dəfə Zommerfeld və ondan asılı olmayaraq 

Q. A. Vilson  ən ümumi halda, yəni  şərti-periodik 

adlanan sistemlər üçün həll etmişlər. 

Şərti periodik sistemlərə misal olaraq 

anizotrop osilyatoru göstərmək olar. Fərz edək ki, 

kütləsi  m olan hissəcik müstəvi üzərində elə 

hərəkət edir ki, bu hərəkətin bir-birinə perpendikulyar olan x və y koordinat oxları üzrə 

proyeksiyaları bir-birindən fərqli olan 

ω

x

 və 

ω

y

 tezlikləri ilə sadə harmonik rəqslər edir. 

Onda bu hissəciyin hərəkət tənlikləri 

ϕ

x

y

E

K

D

A

B

C

2

αε

2

β

2

α

r

ϕ

x

y

E

K

D

A

B

C

2

αε

2

β

2

α

r

Шякил 

y

f

y

m

x

f

x

m

2

1

,

−

=

−

=

&&

&&

   

           (57.1) 

kimi olar. Burada hərfin üstündə nöqtə zamana görə törəməni göstərir. Məlum olduğu 

kimi, (57.1) tənliklərinin həlli 

x=a

1

cos(

ω

x

t+

δ

1

)  

 

 

    

 

 

             (57.2) 

y=a

2

cos(

ω

y

t+

δ

2

)  

 

 

 

 

şəklindədir. Burada a

1

 və a

2

 – rəqslərin amplitudları, 

δ

1

 və 

δ

2

 – başlanğıc fazalar, f

1

 və f

2

 –

 kvazielastik qüvvə əmsalları, 

ω

x

 və 

ω

y

 isə dairəvi tezliklərdir: 

m

f

m

f

y

x

2

1

  

,

=

=

ω

ω

. 

 

        (57.3) 

Əgər f

1

 = f

2

 olsaydı, dairəvi tezliklər də bir-birinə bərabər olardı (

ω

1

=

ω

2

) və bu, adi 

izotrop osilyator olardı. Lakin biz fərz edirik 

ki, f

1

 

≠ f

2

 və baxılan sistem anizotropdur. Belə 

osilyatorun  ən ümumi hərəkəti 

ω

x

  və 

ω

y

 

tezliklərinin qiymətləri eyni tərtibli 

(müqayisə oluna bilən) olmadığı hala 

uyğundur. Bu şərt ödəndikdə hissəcik çoxlu 

sayda həlqələrdən ibarət olan çox mürəkkəb 

bir  əyri üzrə (Lissaju fiquru) hərəkət edir 

(şəkil 57.2). Bu əyrinin maraqlı xüsusiyyəti 

ondan ibarətdir ki, o, heç zaman qapanmır və 

a

1

a

2

 düzbucaqlısını bərabər sıxlıqla doldurur. 

Belə ki, hərəkət edən maddi nöqtə bu 

düzbucaqlının daxilində yerləşən istənilən 

nöqtəyə sonsuz yaxınlaşa bilər. Əksinə, 

ω

x

 və 

ω

y

 tezliklərinin qiymətləri bir-biri ilə eyni 

tərtibli olduqda sırf periodik hərəkət alınır. Məsələn, 

ω

x

 = 

ω

y

 olduqda hissəcik ya düz xətt 

boyunca rəqs edir, ya da çevrə  və ya ellips üzrə  hərəkət edir. 

ω

x

  və 

ω

y

 tezliklərinin 

nisbətinin hər hansı digər rasional qiymətində isə ümumiyyətlə mürəkkəb, lakin hökmən 

qapalı trayektoriya alınır: müəyyən nöqtədən çıxaraq hərəkət edən hissəcik az və ya çox 

dərəcədə mürəkkəb olan əyri xətt üzrə hərəkət edərək həmin nöqtəyə qayıdır və hərəkət 

Шякил 

 

303

yenidən təkrarlanır. Bütün bu hallarda tezliyin iki əsas qiymətini (

ω

x

  və 

ω

y

) deyil, 

onlardan yalnız birini bilməklə kifayətlənmək olar. Çünki 

ω

x

/

ω

y

 nisbəti rasional ədəd 

olduğundan bir tezliyi digəri ilə ifadə etmək olar. Beləliklə, aydın olur ki, sırf periodik 

hərəkət şərti periodik hərəkətin xüsusi halı və özü də özünəməxsus xüsusi halıdır. Belə ki, 

sırf periodik hərəkət zamanı iki sərbəstlik dərəcəsinə malik sistemi xarakterizə etməli 

olan iki xüsusi tezlik əvəzinə bir tezliklə kifayətlənmək olur və trayektoriya 

düzbucaqlının bütün sahəsini bərabər sıxlıqla doldurmur. Adətən deyirlər ki, sırf periodik 

hərəkət şərti periodik hərəkətin cırlaşmış halıdır. 

Baxdığımız sadə halda şərti periodik hərəkət iki sadə harmonik rəqsə  gətirilir. Ona 

görə də (54.9) kvantlanma qaydasını bu rəqslərin hər birinə tətbiq edərək tələb etmək olar 

ki, 

∫

∫

=

=

h

h

y

y

x

x

n

dy

p

n

dx

p

π

π

2

,

2

   

            (57.4) 

şərtləri ödənməlidir. Burada n

x

 və n

y

 – tam qiymətlər alan kvant ədədləridir. 

Deməli, ellips üzrə  hərəkəti də  nəzərə aldıqda mümkün olan bütün elliptik 

trayektoriyalar içərisindən atomun stasionar hallarına uyğun gələn ellipsləri seçmək üçün 

bir dənə (54.9) şərti kifayət deyildir. 

Məlumdur ki, sərbəstlik dərəcəsi  s olan sistem üçün elə  q

1

,  q

2

,…,q

s

 ümumiləşmiş 

koordinatlər tapmaq olar ki, bu koordinatlarda sistemin hərəkəti, baxdığımız anizotrop 

osilyatorda olduğu kimi, s  dənə harmonik rəqsə "ayrıla" bilsin. Belə hallarda (54.9) 

kvantlanma şərtini hər bir sərbəstlik dərəcəsi üçün ayrılıqda yazmaq lazımdır. 

Sərbəstlik dərəcəsi çox olan sistemlərin stasionar hallarının tabe olduğu kvantlanma 

şərtlərini ümumi şəkildə Zommerfeld aşağıdakı kimi müəyyən etmişdir. Əgər sərbəstlik 

dərəcəsi s olan sistem q

i

 ümumiləşmiş koordinatları və onlara uyğun olan 

i

k

i

q

W

p

∂

∂

=

 

   

        (57.5) 

ümumiləşmiş impulsları ilə  təsvir olunursa, onda bu sistemin, (54.9) ifadəsinə uyğun 

olaraq, yalnız 

∫

=

=

=

)

,...,

2

,

1

( 

,

2

s

i

n

h

n

dq

p

i

i

i

i

h

π

 

          (57.6) 

şərtini ödəyən halları stasionar hallar olacaqdır. Burada W

k

 – kinetik enerji, n

1

,n

2

,n

3

,…,n

s

 

– kvant ədədləridir və tam qiymətlər alır. (57.6) ifadələri Zommerfeldin kvant şərtləri 

adlanır. Qeyd edək ki, 

∫

i

i

dq

p

  kəmiyyətlərinə çox zaman baxılan sistemin adiabatik 

invariantları da deyilir. 

(57.6) kvant şərtlərində inteqrallama uyğun  q

i

  dəyişəninin bütün qiymətləri oblastı 

üzrə aparılır. 

Qeyd edək ki, (57.6) kvant şərtləri əsasında aparılan hesablamalar yalnız sadə atom 

sistemləri üçün təcrübə ilə uyğun gələn nəticələr verir. Daha mürəkkəb sistemlər üçün 

(57.6) kvant şərtləri özünü doğrultmur və sonra görəcəyimiz kimi, hesablamalar kvant 

mexanikası  təsəvvürlərinə  əsasən aparılmalıdır. Məhz buna görə  də atom fizikasına aid 

yazılmış  dərs vəsaitlərinin  əksəriyyətində Bor nəzəriyyəsinin Zommerfeld tərəfindən 

ümumiləşdirilməsi və  təkmilləşdirilməsi  şərh olunmur. Belə hesab edilir ki, kvant 

mexanikasının yaranması nəticəsində Bor-Zommerfeld nəzəriyyəsi öz əhəmiyyətini artıq 

itirmişdir. Lakin (57.6) şərtləri atom nəzəriyyəsinin inkişafında tarixən böyük rol 

oynamışdır və ona görə  də biz bu şərtlərin hidrogenəbənzər atomlara (Ё46) tətbiqini 

 

304 

ətraflı şərh edəcəyik. Bu məqsədlə klassik mexanikadan məlum olan Laqranj və Hamilton 

metodlarından istifadə etmək əlverişlidir. 

Fərz edək ki, hidrogenəbənzər atomda nüvənin kütləsi m

1

, elektronun kütləsi isə m

2

-

dir. Bu iki hissəcikdən ibarət olan sistemin hərəkətini başlanğıcı  O nöqtəsində olan 

koordinat sisteminə nəzərən öyrənək (şəkil 57.3). Bu sistemin Laqranj funksiyası 

(

)

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

r

r

U

r

m

r

m

L

r

r

&r

&r

−

−

+

=

 

 

        (57.7) 

kimi təyin olunur. Burada 

1

rr  – nüvənin, 

2

rr  – elektronun radius-vektoru, 

(

)

2

1

r

r

U

r

r −  – 

elektron ilə nüvə arasındakı Kulon qarşılıqlı  təsirinin potensial enerjisidir. Göründüyü 

kimi, sistemin sərbəstlik dərəcəsi altıya bərabərdir. Bu sistemin hərəkətini onun kütlə 

mərkəzinin hərəkəti və kütlə  mərkəzinə nisbətən hərəkət olmaqla iki yerə ayıraq. Bu 

məqsədlə aşağıdakı qayda ilə yeni 

rr  və  R

r

 dəyişənlərinə keçək: 

2

1

r

r

r

r

r

r

−

=

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

           (57.8) 

2

1

2

2

1

1

m

m

r

m

r

m

R

+

+

=

r

r

r

  

 

 

 

 

Burada   – elektron ilə nüvə arasındakı  məsafəyə uyğun vektor, 

rr

R

r

 – sistemin kütlə 

mərkəzinin radius-vektorudur. Asanlıqla göstərmək olar ki, kütlə  mərkəzi hissəciklərin 

mərkəzlərini birləşdirən düz xətt üzərində olur və bu düz xətt parçasını kütlələrin nisbəti 

ilə tərs mütənasib hissələrə bölür. Doğrudan da (57.8) düsturundan 

(

) (

)

R

r

m

r

R

m

r

r

r

r

−

=

−

2

2

1

1

 

alınır ki, bu da 

(

)

1

r

R r

r

−

  və 

(

)

R

r

r

r −

2

 vektorlarının bir-birinə paralel olması deməkdir. Bu 

vektorlar ümumi bir C nöqtəsinə malik olduğundan, hər üç m

1

, C və m

2

 nöqtələri bir düz 

xətt üzərində olar. Beləliklə, yuxarıdakı  təklifin birinci hissəsi isbat olunur. İkinci 

hissəsinin də isbatı 

R

r

r

R

m

m

r

r

r

r

−

−

=

2

1

1

2

 düsturundan dərhal görünür. 

(57.8) tənliklərinin birgə həllindən 

,

2

1

2

1

r

m

m

m

R

r

r

r

r

+

+

=

 

 

   

 

 

 

           (57.9) 

r

m

m

m

R

r

r

r

r

2

1

1

2

+

−

=

 

alınır. Bu ifadələrə əsasən 

1

r

&r

 və 

2

r

&r

 törəmələrini taparaq (57.70)-də yazaq: 

( )

.

2

2

2

2

r

U

r

R

M

L

−

+

=

&r

&r

µ

  

 

      (57.10) 

Burada M – sistemin tam kütləsi, 

µ

 – gətirilmiş kütlədir. 

M=m

1

+m

2

, 

 

   

 

 

         (57.11) 

 

305

2

1

2

1

m

m

m

m

+

=

µ

 

(57.10) ifadəsindən görünür ki, Laqranj funksiyası sistemin kütlə  mərkəzinin  R

r

 

radius-vektorundan asılı deyildir. Ona görə də 

0

=

∂

∂

R

L

r

 və 

0

=

∂

∂

−

∂

∂

R

L

R

L

dt

d

r

&r

  

 

           (57.12) 

Laqranj tənliyindən 

const

R

const

R

M

R

L

R

L

dt

d

=

=

=

∂

∂

=

∂

∂

&r

&r

&r

&r

,

,

0

               (57.13) 

alırıq. Deməli, sistemin kütlə mərkəzinin sürəti qiymət və istiqamətcə sabitdir. Ona görə 

də  O koordinat başlanğıcını  (şəkil 57.3) hidrogenəbənzər atomun kütlə  mərkəzində 

yerləşdirməklə, kütlə  mərkəzinin hərəkətini aradan 

çıxarmaq əlverişlidir 

)

0

,

0

(

=

= R

R

&r

r

. Beləliklə, başlanğıcı 

kütlə  mərkəzində yerləşmiş koordinat sisteminə  nəzərən 

hərəkət edən hidrogenəbənzər atom üçün Laqranj 

funksiyası 

( )

r

U

r

L

−

=

2

2

&r

µ

  

 

          (57.14) 

şəklinə düşür. Bu isə  U(r) mərkəzi sahəsində  hərəkət 

edən 

µ

 kütləli hissəcik üçün Laqranj funksiyasıdır. 

Deməli, iki hissəciyin hərəkəti haqqında məsələ, kütləsi 

µ

 

gətirilmiş kütləyə  bərabər olan bir dənə fiktiv hissəciyin 

mərkəzi sahədə  hərəkəti məsələsinə  gətirilir. Lakin elektronun m

2

 kütləsi nüvənin  m

1

 

kütləsindən çox kiçik olduğu üçün (m

2

<<m

1

) 

O

C