Electr xa'm magnetizm lat

awısıwının’ ag’ısı usı bettin’ ishinde jaylasqan barlıq zaryadlardın’ algebralıq qosındısına 
ten’. 
A’dette 
 yamasa ∮( ) tu’rindegi an’latpalar fizika menen matematikanın’ ko’p sandag’ı 
ha’r qıylı ma’selelerinde gezlesedi. Bul an’latpalar 
vektorının’ aykın fizikalıq ma’nisinen 
g’a’rezsiz ma’niske iye boladı. Da’slepki 
an’latpası vektorının’ sheksiz kishi bolg’an
beti arqalı ag’ısı, al 
∮( ) an’latpası bolsa vektorının’ shekli beti arqalı ag’ısı dep ataladı. 
= ∮( ) integralın elektr awısıwı  vektorının’ ag’ısı dep ataydı (biraq bul tu’sinik qanday 
da bir haqıyqıy ag’ıstı bildirmese de). 
(17)-an’latpanı elektr maydanının’ kernewligin paydalanıp basqasha da jazıw mu’mkin: 

---

17 
= ∮( ) = 4 . 
(17-1) 
(Sİ sistemasında 
= ∮( ) =
jazıwı orın aladı). Bul an’latpa Ostrogradskiy-Gauss 
teoremasının’ differentsial formadag’ı jazılıwı bolıp tabıladı. Ko’lem birligindegi elektr 
zaryadlarının’ mug’darın (joqarıda aytılıp o’tilgenindey) elektr zaryadının’ ko’lemlik tıg’ızlıg’ı 
dep ataymız ha’m onı 
arqalı belgileymiz. Bunday jag’dayda ko’lemindegi zaryadtın’ 
mug’darı 
= g’a ten’ boladı. Tıg’ızlıq nı ken’isliklik koordinatalardın’ u’zliksiz 
funktsiyası dep esaplaymız (a’lbette bunday sha’rt tek makroskopiyalıq fizikada orınlanadı). 
Ken’islikte ta’repleri 
, , bolg’an sheksiz kishi tuwrı mu’yeshli paralelopiped alamız (11-
su’wret). 1-qaptalda sırtqı 
normalı Х ko’sherinin’ bag’ıtına qarama-qarsı bag’ıtlang’an. 
Sonlıqtan qanday da bir 
 vektorının’ usı qaptal bet boyınsha ag’ısı − 
( ) ke ten’. Al 
qarama-qarsı jaylasqan 2 qaptalında sırtqı normaldın’ bag’ıtı Х ko’sherinin’ bag’ıtı menen 
bag’ıtlas ha’m sonlıqtan usı qaptal bet araqalı ag’ıs ushın 
( + ) an’latpasın jaza 
alamız. Eki ag’ıstın’ qosındısı
[ 
( + ) −
( )] =
=
.
Bul an’latpada 
≡ arqalı paralelopipedtin’ ko’lemi belgilengen. Tap usınday jollar 
menen qarg’an eki qaptal arqalı ag’ıs anıqlanadı. Parallelopipedtin’ barlıq betleri arqalı 
o’tetug’ın tolıq ag’ıs 
=
+
+
 
shamasına ten’ boladı. Eger 
+
+
=  dep belgilesek, onda joqarıdag’ı tolıq ag’ıs 
ushın jazılg’an formula 
=  
tu’rine enedi. Ostrogradskiy-Gauss teoreması boyınsha 
4 = 4 . Bul an’latpalardı bir 
birine ten’ew arqalı mına formulag’a iye bolamız: 
= 4 . 
Bul formula Ostrogradskiy-Gauss teoremasın differentsial formada an’latadı ha’m 
elektrodinamikanın’ tiykarg’ı formulalarının’ biri bolıp tabıladı. 
= 4 an’latpası menen anıqlanatug’ın shama vektorının’ ayqın fizikalıq yamasa 
geometriyalıq ma’nisinen g’a’rezli emes. Bul an’latpa 
vektorının’ divergentsiyası dep ataladı. 
Al divergentsiya menen matematika menen fizikanın’ og’ada ko’p sanlı ha’r tu’rli bo’limlerinde 
ushırasıw mu’mkin. 
Biz joqarıda Ostrogradskiy-Gauss teoremasın da’lillewde biz Kulon nızamın paydalang’anımızdı 
atap o’temiz. Sebebi Ostrogradskiy-Gauss teoreması Kulon nızamının’ na’tiyjesi bolıp tabıladı. 

---

18 
11-su’wret. 
Ko’lemi dxdydz bolg’an sheksiz kishi tuwrı 
mu’yeshli paralelopipedtin’ betleri arqalı 
qa’legen vektorlıq shamanın’ ag’ısın 
anıqlawg’a arnalg’an su’wret. 
Endi Ostrogradskiy-Gauss teoreması ja’rdeminde bazı bir dara jag’daylar ushın maydandı 
esaplaymız. 
1-mısal. Ten’ o’lshewli zaryadlang’an tegislik (12-su’wret). Meyli zaryadının’ betlik tıg’ızlıg’ı 
g’a ten’ sheksiz tegislik berilgen bolsın. Simmetriya ko’z-qarasınan awısıw sızıqlarının’ betke 
tek perpendikulyar bag’ıtta bolatug’ınlıg’ı belgili. Bul jag’dayda Ostrogradskiy-Gauss 
teoremasındag’ı tuyıq bet sıpatında zaryadlang’an betke perpendikulyar tuwrı tsilindrdi saylap 
alg’an qolaylı. Bul tsilindr eki tegis ultang’a iye ha’m bul ultanlardın’ ku’sh sızıqlarına 
perpendikulyar bolıwı kerek (12-su’wrettegi S beti). TSilindrdin’ qaptal beti awısıw sızıqlarına 
parallel bolg’anlıqtan (
= 0) bul bet araqalı awısıw ag’ısı nolge ten’ ha’m sonlıqtan tsilindr 
arqalı o’tetug’ın tolıq ag’ıs onın’ ultanları arqalı o’tiwshi ag’ıslardın’ qosındısına ten’: 
= 2 . 
TSilindr ishindegi tolıq zaryad 
ke ten’. Sonlıqtan Ostrogradskiy-Gauss teoremasın qollanıp 
mınag’an iye bolamız: 
2 = . 
Bunnan 
=
. Bir tekli zaryadlang’an tegisliktin’ vakuumdegi kernewligi
=
1
2 
(18) 
shamasına ten’. 
12-su’wret. 
Ten’ o’lshewli zaryadlang’an tegisliktin’ elektr 
maydanı. 
2-mısal. Zaryadlang’an o’tkizgishtin’ beti. Meyli ıqtıyarlı zaryadlang’an metall o’tkizgish 
berilgen bolsın. Bunday o’tkizgishte zaryadlar a’dette ten’ salmaqlıqta jaylasadı. 

---

19 
13-su’wret. 
Zaryadlang’an o’tkizgishtin’ betinin’ 
qasındag’ı elektr maydanı. 
Bul ma’seleni sheshiw ushın elektr tog’ı bolmag’an jag’daylarda ku’sh sızıqlarının’ 
o’tkizgishtin’ betine perpendikulyar bolatug’ınlıg’ın esapqa alamız. Al o’tkizgishtin’ ishindegi 
maydannın’ kernewliginin’ barqulla nolge ten’ bolatug’ınlıg’ı o’z-o’zinen tu’sinikli (eger 
o’tkizgishtin’ ishinde elektr maydanının’ kernewligi nolge ten’ bolmag’anda metaldın’ 
o’tkizgishlik elektronları qozg’alısqa kelgen bolar edi, yag’nıy elektr tog’ı payda bolg’an bolar 
edi).
O’tkizgishtin’ betinde sheksiz kishi 
bet elementin alamız (13-su’wret) ha’m zaryadtın’ betlik 
tıg’ızlıg’ın 
arqalı belgileymiz. Tuyıq bet sıpatında bul jag’dayda da ultanının’ maydanı , al 
biyikligi sheksiz kishi 
ℎ bolg’an tuwrı tsilindr alamız. Bul jag’dayda o’tkizgishtin’ betinin’ 
sheksiz kishi elementin alıwımız kerek. Sebebi ulıwma jag’dayda 
bettin’ bir noqatınan ekinshi 
noqatına o’tkende o’zgeriske ushıraydı. TSilindirdin’ biyikligi de sheksiz kishi bolıwı sha’rt. 
Bunın’ sebebi ıqtıyarlı formag’a iye o’tkizgish jag’dayında awısıw sızıqları tek tikkeley jaqın 
orınlarda g’ana betke perpendikulyar boladı. Bul jag’dayda awısıwdın’ tolıq ag’ısı tek bir ultan 
arqalı o’tiwshi ag’ısqa ten’ ha’m 
= . 
Bunnan 
= ha’m = / 
qatnasların alamız. 
Solay etip o’tkizgishtin’ betinin’ tikkeley qasında 
nın’ ma’nisi zaryadtın’ betlik tıg’ızlıg’ına, 
yag’nıy o’tkizgishtin’ ishindegi bir birlik maydanda jaylasqan zaryadtın’ mug’darına ten’. 
«Elektr awısıwı» termininin’ payda bolıwı da usı jag’dayg’a baylanıslı. Bul na’tiyjedegi en’ 
a’hmiyetlisi sonnan ibarat, bettin’ biz qarap atırg’an noqatı a’tirapındag’ı maydannın’ kernewligi 
ha’m elektr awısıwı o’tkizgishtin’ formasınan, ondag’ı zaryadlardın’ tarqalıwınan ha’m usı 
o’tkizgishtin’ a’tirapında basqa o’tkizgishlerdin’ bar yamasa joqlıg’ınan g’a’rezli emes eken. 
14-su’wret. 
Tegis kondensatordın’ ishindegi elektr 
maydanı. Bul jerde elektr maydanı 
kondensatordın’ zaryadlang’an eki astarı payda 
etken maydanlardın’ qosındısına ten’ boladı.