Фанидан маърузалар матни

Назорат саволлари:
1. Илм-фан нима ва унинг таркибига нималар киради?
2. Илмий тадқиқотларнинг қандай методлари мавжуд?
3. Кузатиш, тақослаш, ўлчаш деганда нимани тушунасиз?
4. Эксперимент нима?
5. Назарий ва экперименталь тадқиқотлар қандай фарқланади?
6. Анализ ва синтез методларининг моҳияти нимада?
7. Индукция ва дедукция қандай методлар?
8. Умумлаштириш, абстрактлаштириш ва конкретлаштириш қачон қўлланилади?
9. Моделлаштириш методининг моҳияти, мақсад-вазифалари нимадан иборат?
10. Фундаменталь тадқиқотлар нима?
11. Амалий тадқиқотлар қандай масалаларни ҳал этишга йўналтирилган?
12. Тажриба-конструкторлик иши деганда нимани тушунасиз?
13. Илмий-тадқиқот ишлари қандай босқичлардан ташкил топади?
14. Тажриба-конструкторлик ишлари неча босқичда бажарилади?
15. Илмий-тадқиқот мавзуси нима ва у қандай танланади?
16. Илмий-техник ахборот нима ва у қандай қидирилади?
17. Илмий-техник ахборот манбааларига нималар киради?
18. Ахборотнинг «эскириши» нима?
19. Интернет нима?
20. Илмий-техник ахборотни таҳлил қилиш қандай тарзда амалга оширилади?


3 - Маъруза
МАВЗУ: Илмий тадқиқотларда математик моделлаштириш
Режа:

1. 
   Математик моделлаштиришнинг асослари ва вазифалари.
   
2. 
   Математик моделларнинг таснифланиши.
   
3. 
   Математик моделларни олиш методикаси.
   

Таянч сўз ва иборалар: математик Модель, математик тил, математик масала, реал вазият, масала, жавоб, математик мантиқ, микродаража, макродаража, детерминистик, стохастик ёндошув, эксперименталь-статистик метод, кибернетик тизим, Функциональ , таркибий моделлар, топологик, геометрик, математик модель шакллари, моделлаштириш методлари.

1. Математик моделлаштиришнинг асослари ва вазифалари

Математик Модель - ўрганилаётган объктнинг асосий хоссаларини акс эттирувчи ва унинг ҳақидаги кўплаб ахборотни қулай шаклда тасвирловчи сунгий тизимдир.
Математик моделлар инсон фаолиятининг турли соҳаларига тобора кенроқ ва чуқурроқ кириб бормоқда ва тадқиқотларнинг сермаҳсул воситалардан фойдаланиш имкониятини бермоқда. Шу сабабли фан ва техниканинг турли соҳаларидаги мутахассисларнинг математик маданияти ошиб бориши кузатилмоқда. Улар ортиқча қийинчиликсиз ҳисоблашларнинг умумий назарий қоидалари ва методларини ўрганмоқдалар. Лекин, амалда у ёки бу тадбиқий масалани ечиш учун фақатгина математик билимларгагина эга бўлиш кифоя қилмайди-масаланинг берилган шартларини математик тилга ўтказа олиш уқув ва кўникмаларини ҳам эгаллаши зарурдир, яъни реал амалий вазиятларда юзага келадиган математик масалаларни қўйиш методларини ўрганиши керак.
Математик моделлаштиришнинг вазифаси «реал олам» ни математика тилида баён этишдан иборат бўлиб, бу унинг энг асосий хоссалари ҳақида аниқ тасаввурга эга бўлиш имконини беради ва маълум маънода бўлажак воқеа - ҳодисаларни башорат қилиш мумкин бўлади. «Математик моделлаштириш» атамаси айнан мана шу ҳолатни акс эттиради.
Амалда, одатда бирор бир реал вазият бошланғич пункт бўлиб, тадқиқотчи олдига масала қўяди, масалага эса жавоб топилиши талаб этилади.
Кўп ҳолларда математик таҳлил қилиш мумкин бўлган масаланинг ажратилиш (қўйилиш) жараёни давомий бўлади ва у нафақат математик билимларга, балки реал вазияти математик модел орқали баён этилаётган соҳага оид билим ва кўникмаларга ҳам эга бўлишликни тақазо этади. 3.1-расмда математик моделни ишлаб чиқиш схемаси тасвирланган.
Реал вазиятни таҳлил қилиш натижасида математик тарзда баён қилиш мумкин бўлган масала қўйилади. Кўп ҳолларда масалани қўйиш билан биргаликда параллел ҳолда ҳодисанинг асосий ёки ахамиятли хусусиятларини аниқлаш жараёни ҳам боради. Бундан сўнг аниқланган аҳамиятли омиллар математик тушунчалар ва миқдорлари тилига ўтказилади, шунингдек, ушбу миқдорлар ўртасидаги нисбатлар белгиланади, натижада математик модел ҳосил бўлади. Одатда, бу моделлаштириш жараёнинининг энг қийин босқичи бўлиб, уни бажаришга доир хеч қандай умумий тавсиялар бериш мумкин эмас.

3.1-расм. Математик моделни ишлаб чиқиш схемаси

Математик моделни ишлаб чиқарилгандан сўнг уни текшириб кўриш зарур бўлади. Бу ерда шуни ҳам таъкидлаш лозимки, моделнинг адекватлилиги масалани қўйиш жараёнида ҳам маълум даражада текширилиб борилади, чунки модель асосига қўйилган тенгламалар ва бошқа математик ифодалар бошланғич реал вазият билан доимий равишда таққослаб борилади.
Моделнинг адекватлилигини текширишнинг бир неча жихатлари мавжуд. Биринчидан, моделнинг математик асоси зид бўлмаслиги ва математик мантиқнинг барча қонунларига бўйсуниши шарт. Иккинчидан, Модель бошланғич реал вазиятни адекват тарзда мужассамлаштириши керак. Лекин, бундай текширишда таклиф этилган маделнинг адеватлилиги ҳақидаги хулоса бирмунча даражада субъективдир. Модель объектни акс эттириши мумкин, лекин унинг ўзи бўлолмайди.
Реал вазиятлар турли мақсадлар учун моделлаштирилади. Уларнинг энг асосийси-ҳодисанинг янги хоссалари ёки янги натижаларни олдиндан айтиб бериш (башорат)дир.
Кўп ҳолларда бу башоратлар, эҳтимол, келажакда бўладиган шарт-шароитларга талуқли бўлади. Шунингдек, башоратлар бевосита экстрименталь тарзда тадқиқ этиб бўлмайдиган ҳодисаларга ҳам таалуқли бўлиши мумкин. Айрим моделлар ўлчов миқиёсини қулай кўринишга келтириш учун яратилади. Масалан, термометрда қўланилувчи ҳароратнинг чизиқли шкаласи ҳам математик моделдир.
Автоматлаштирилган лойиҳалаш тизимлари (САПР)да техник объектларнинг математик моделлари (ММ) кенг қулланилади. Ушбу моделлар объектдаги қаралаётган жараёнларнинг детализациялаштириш даражаси билан фарқланувчи микро-, макро- ва мета-даражаларда яратилиши мумкин.
Масалан, техник объектлариннг микродаражадаги ММ хусусий хосилали диференциаль тенгламалар тизими бўлиб, улар яхлит мухитдаги жараёнларни берилган чегаравий шартларда ифодалайди.
Техник объектнинг микродаражасидаги ММ берилган бошланғич шартларни қаноатлантирувчи оддий дифференциал тенгламалар тизимидир.
Метадаражадаги ММ автоматик бошқарув назарияси ва оммавий хизмат кўрсатиш назарияси тадқиқотларига оид объектлар учун яратилади.
Қараётган математик ўзгарувчиларнинг табиатини аниқлаш моделлаштириш жараёнининг бошланишида қабул қилинадиган муҳим ечимдир. Моҳиятига кўра, улар иккита синфга бўлинади:
- аниқ ўлчаш ва бошқариш мумкин бўлган детерминацияланган ўзгарувчилар;
- аниқ ўлчаш мумкин бўлмаган ва тасодифий характерга эга бўлган стохастик ўзгарувчилар.
У ёки бу ММ олиниши билан моделлаштириш жарёни тугамайди. Берилган масала баён этилган (шакллантирилган) тилга математик тилдан қайтадан ўтказиш-таржима қилиш амалга оширилиши керак. Олинган ечимларнинг нафақат математик маъносини, балки улар реал олам тилида инмани англатишини ҳам билиш, тушуниш керак бўлади.
Техник объектларнинг аксарияти мураккаб тизимлар синфига мансуб бўлиб, бир-бирига боғлиқ бўлган кўп сонли параметрлар билан характерланади. Бундай тизимларни тадқиқ этиш қуйидагилардан иборат бўлади:

• 
  киритилувчи параметрлар-омиллар билан чиқувчи - олинувчи параметрлар - техник объект ишлашининг сифат кўрсаткичлари ўртасидаги боғликлигини аниқлаш;
  
• 
  техник объектнинг олинувчи параметрларини оптималлаштирувчи омилларнинг даража (қиймат)ларини аниқлаш.
  

Мураккаб тизимларнинг ММ ишлаб чиқишда икки турдаги ёндашув мавжуд: детерминистик ва стохастик. Детерминистик ёндашувда Модель ҳодиса механизмини ҳар томонлама тадқиқ этиш асосида ишлаб чиқилади ва одатда дифференциаль тенгламалар тизими кўринишида ифодаланади. Бу ҳолда оптималлаштириш масаласини ечиш учун замонавий бошқарув назариясининг математик аппаратидан фойдаланиш мумкин. Детерминистик ёндашув кам сонли кириш параметрларига боғлиқ бўлган бир физик табиатли яхши ташкил этилган тизимларни ҳодиса ёки жараёнларни ифодалаш ва ўрганишда қўлланилади. Бу ҳолат детерминистик ёндашувнинг қўлланилишини чегаралайди.
Ёмон ташкил этилган (диффузли) тизимларни ўрганиш ва математик жиҳатдан ифодалашда стохастик ёндашув қўлланилади. Бундай тизимларда алоҳида ҳодисаларни ажратиш, турли физик табиатга эга бўлган ўзгарувчилар таъсирини чегараловчи «ўтказмас тўсиқ» ларни аниқлаш имконияти бўлмайди. Бундай ёмон ташкил этилган тизимга мисол қилиб ихтиёрий олинган технологик жараённи кўрсатиш мумкин.
Ходисалар механизми ҳақидаги билим - маълумотлар тўлиқ бўлмаган ёмон ташкил этилган тизимлар учун математик моделини ишлаб чиқиш ва оптималлаштириш эксперименталь- статистик методлар ёрдамида ҳал этилади. Бу ҳолда техник объект модели кибернетик тизим (қандайдир «қора қути») кўринишида тасвирланади, унинг учун тадқиқотчи тизимда кечаётган ҳодисалар механизми ҳақида деярли ҳечнарса билмагани ҳолда чиқиш параметри билан кўплаб кириш параметрлари (мустақил ўзгарувчилар) ўртасидаги боғлиқликни қидиради.
Математик моделларга универсаллик (тўлиқлилик), адекватлик, аниқлик ва тежамлилик талаблари қўйилади.
ММ нинг универсаллиги деганда унинг реал объектнинг ҳоссаларини тўлиқ акс эттириши тушунилади. Кўплаб ММ объектда кечадиган физик ёки ахборот жараёнларини акс эттириш учун яратилади. Бунда объектни ташкил этувчи элементларнинг геометрик шакли каби хоссалари баён этилмайди.
ММ аниқлиги реал объект параметрларининг қийматлари билан уларнинг ушбу модель ёрдамида ҳисобланган қийматларининг мос тушиши даражаси билан характерланади.
Битта параметр бўйича нисбий хатолик қуйдаги формула бўйича аниқланади:
_j=(y_jm-y_jҳақ)/y_jҳақ; j=1,2,….,m, (1)
бу ерда: y_jm – математик модель ёрдамида ҳисобланган j – чиқиш параметрининг қиймати; у_jқақ –j –чиқиш параметрининг ҳақиқий қиймати.
Ҳатоликнинг векторлик баҳоси қуйдагига тенг бўлади:
=(₁,₂……,_m) (2)
ММ адекватлиги деганда унинг объектнинг берилган хоссаларининг йўл қўйса биладиганидан ошмайдиган хатолик билан акс эттира олиш хоссасига айтилади, яъни:
_m≤δ, (3)
бу ерда: δ>0 – модель хатолигининг чегаравий қийматига тенг бўлган берилган константа; _m – ҳатолигининг скаляр баҳоси, _m=[].

ММ тежамлилиги унинг реализацияси учун сарфланадиган хисоблаш ресурслари билан характерланади, яъни машина вақти Т_м ва хотира П_м сарфлари. У сарфларнинг миқдори қанча кичик бўлса, модель шунча тежамли ҳисобланади.

Бир томондан моделга юқори тежамлилик талабининг, иккинчи томондан эса юқори аниқлик, универсаллик ва адекватлилик талабларининг қўйилиши бир-бирига зиддир. Ушбу талабларнинг қониқарли даражада қаноатлантирилиши ечиладиган масалаларнинг хусусиятларига, лойихалашнинг жихатлари ва таркибига боғлиқ бўлади.
2. ММ нинг таснифий белгиларига қуйидагилар киради:

• 
  техник объектнинг акс эттирилувчи хоссаларининг характери;
  
• 
  иерархик даражага мансублиги;
  
• 
  баённинг бир сатҳ (савия) ичидаги деталлаштирилиш даражаси;
  
• 
  техник объект хоссаларини фараз қилишнинг усули;
  
• 
  моделни олиш усули.
  

Объектнинг акс эттирилувчи хоссаларининг характерига кўра ММ Функциональ ва таркибий турларга бўлинади.
Функциональ моделлар техник объектнинг ишлаши ёки тайёрланишида унинг ичида кечувчи физик ёки ахборт жараёнларини акс эттиради. Бу моделлар тенгламалар системаси кўринишида бўлиб, фазавий ўзгарувчилар, ички, ташқи ва чиқиш параметрларини боғлаб туради. Функциональ моделларнинг типик мисоли сифатида электрик, иссиқлик, механик жараёнларни ёки ахборотнинг ўзгариш - айланиш жараёнларини тасвирловчи тенгламалар системаларини кўрсатиш мумкин.
Таркибий моделлар техник объектнинг таркибий хоссаларини акс эттиради, масалан, геометрик шаклини, унинг элементларининг фазода ўзаро жойлашишини ва ш. ў. Бундай моделлар топологик ва геометрик моделларга бўлинади.
Топологик математик моделларда объектдаги элементларнинг таркиби ва ўзаро алоқалари акс эттилади. Бундай моделлар ёрдамида ускуна - жиҳозларни компоновкалаш, деталларни жойлаштириш, бирикмаларни трассировкалаш, технологик жараёнларни ишлаб чиқиш каби масалалар ечилади. Топологик ММлар графлар, турли матрицалар (жадваллар), рўйхатлар шаклида тасвирланади.
Геометрик ММлар техник объектнинг бевосита геометрик хоссаларини акс эттиради ва конструкциялаш масалаларини ҳал этишда, конструкторлик ҳужжатларини расмийлаштириш учун, технологик жараёнларни ишлаб чиқиш учун бошланғич малумотларни беришда қўлланилади. Геометрик ММ лар чизиқлар ва сиртлар тенгламаларининг мажмуаси шаклида, объект жисмининг соҳаларини ифодаловчи алгебраик нисбатлар, графлар, рўйҳатлар ва шунга ўхшаш кўринишларда тасвирланиши мумкин.
Иерархик даражага мансублиги бўйича ММ лар микро-, макро- ва метадаражаларга тегишли бўлиши мумкун; уларда мураккаб техник объектларнинг турли хоссалари тасвирланади.
Микродаражада ММ лар объект элементларининг физик холати ва уларнинг ичидаги жараёнларни тасвирлайди. Бундай моделларда (хусусий ҳосилали дифференциаль тенгламалар системаларида) фазовий координаталар ва вақт мустақил ўзгарувчилар хисобланади.
Макродаражада алохида деталлар элементлар сифатида ажратилиб, фазолар (соҳалар) ни дискретлаштириш амалга оширилади. Бунда фазовий координаталар мустақил ўзгарувчилар қаторидан чиқарилади. Мос ҳолдаги ММ ларда (алгебраик ёки оддий дефференциаль тенгламалар системалари) қарам (боғлиқ) ўзгарувчиларнинг векторлари дискретлаштирилган фазонинг (соҳанинг) йириклаштирилган элементларининг ҳолатини характерловчи фазовий ўзгарувчиларини ташкил этади. Фазавий ўзгарувчиларга электр кучланишлари ва тоқлари, тезлик кучлари, хароратлар, сарфлар ва бошқалар киради. Ушбу ўзгарувчилар элементларнинг ўзаро ва ташқи муҳит билан таъсири натижасида намоён бўлувчи ташқи хоссаларини характерлайди.
Метадаражада ММ лар етарлича мураккаб бўлган деталлар мажмуаси элементларининг ўзаро алоқа (боғланиш) ларигагина тааллуқли бўлган фазавий ўзгарувчиларни тасвирлайди. Бунда кейинги абстрактлаштириш ёрдамида физик жараёнларнинг характерига қараб лойиҳаланувчи объектларда кечагидан ахборот жараёнларининг тасвири (баёни) ни олинади. Методаражада турли – туман ММлар қўлланилади: оддий диференциаль тенгламалар системалари, мантиқий моделлар тизимлари, оммавий хизмат кўрсатиш тизимларининг имитацион моделлари, топологик моделлар.
Ҳар бир босқичнинг ичидаги тасвирлаш (баён қилиш) нинг деталлаштирилишининг даражасига кўра ММ лар тўлиқ ва макромоделларга бўлинади. Тўлиқ моделлар лойихаланувчи объектнинг барча элементлараро боғланишларининг ҳолатларини характерловчи фазавий ўзгаришларни тасвирлайди, макро моделлар эса элементларни йириклаштириб ажратилгандаги боғланишларни тасвирлайди.
Техник объектнинг хоссаларини тасвирлаш усулига кўра ММ лар қўйидаги асосий шакилларга эга бўлиши мумкин.
Аналитик шакл – моделни чиқиш параметрларини кириш ва ички параметрларнинг функциялари кўринишидаги ифодалар шаклида ёзишдир. Бу моделлар ўзининг юқори тежамлилиги билан ажралиб туради, бироқ сезиларли йўл қўйишлар ва чекланишлар қабул қилинган холларда уларнинг аниқлиги пасаяди ва адекватлик сохаси қисқаради.
Алгоритмик шакл – чиқиш параметрларининг кириш ва ички параметирлари билан ҳамда танланган сонли ечиш методининг боғланишини ёзиш алгоритм шаклида амалга оширилади. Алгоритмик моделлар орасида мухим синфни имтацион моделлар ташкил этади, улар вақт ичидаги кириш таъсирлари берилганда объектдаги физик ёки ахборот жараёнларини имитациялаш учун хизмат қилади. Бундай моделга мисол қилиб динамик объектнинг оддий дифференциаль тенгламалар системаси куринишидаги моделини кўрсатиш мумкин.
Схемали ёки график шакл - моделнинг бирор график тилда ёзилишидир, масалан, диаграммалар, графлар, эквивалент схемалар тилида ёзилиши ва шунга ўхшаш. ММ ларнинг бундай шакли кўргазмали бўлиб, одамнинг қабул қилиши учун қулайдир. Шунинг билан биргаликда, моделлар элементларини талқин қилишнинг ягона қоидаси бўлиши шарт.
Юқорида келтирилган шакиллардаги ММ ларини олиш учун формаль ва ноформаль методларидан фойдаланади. Формаль методлар элеметларининг моделлари маълум бўлган тизимларнинг ММ ларини олиш учун қўлланилади. Ноформаль моделлар элементларнинг математик моделларини турли хил иерархик босқичларда олиш учун қўлланилади. Бу методлар асосида моделлаштирилаётган техник объектда кечаётган жараён ва ходисаларнинг қонуниятларини ўрганиш, шунингдек, мохиятли омилларни ажратиш, турли фаразларни асослаш ва шу кабилар ётади. ММ нинг уневерсаллик даражаси, аниқлиги ва тежамлилиги бу опирацияларни бажариш натижаларига боғлиқ бўлади.
Ноформаль методлар назарий ва эмпирик (экспериметаль) ММ ларни олиш учун қўлланилади. Назарий ММ лар кўрилаётган объектларга хос бўлган жараёнлар ва уларнинг қонуниятларини тадқиқ этиш натижасида яратилади; эксперименталь ММ лар эса ташқи киришлар ва чиқишларда фазовий ўзгарувчиларни ўлчаш ва уларнинг натижаларига ишлов бериш йўли билан объект хоссаларининг ташқи кўринишларини ўрганиш натижасида яратилади.

3. Математик моделлар, одатда, техниканинг конкрет соҳалари мутахасислари томонидан эксперименталь тадқиқотларнинг турли воситалари ва САПР-АЛТ воситалари ёрдамида тузилади.
Шунинг билан биргаликда моделлаштиришнинг кўп операциялари эвристик характерга эга бўлди. Лекин, ММ олишнинг умумий методикасини ташкил этувчи қатор жиҳатлар ва усуллар мавжуд.
1) Техник объектнинг моделда акс эттирилувчи ва бўлажак моделнинг уневерсаллик даражасини белгиловчи хоссаларини аниқлаш.
2) Турли манбаалар бўйича моделлаштирилаётган техник объектнинг танланган хоссалари ҳақидаги априори ахборотларни тўплаш: илмий-техник, патент ва маълумотнома адабиётлари, прототипларнинг баёни, эксперименталь тадқиқотлар натижалар ва б.
3) Математик моделнинг таркибини синтез қилиш, яъни кириш ва чиқиш параметрларининг конкрет сонли қийматларисиз модель тенгламаларининг умумий кўринишини олиш. Моделлаштиршнинг ушбу операцияси энг масъулиятлилардан бўлиб, уни формаллаштириш бирмунча қийиндир.
4) Математик модель параметрларининг сон қийматларини қуйидаги йўллар билан аниқланади:

• 
  2-босқичда тўпланган априори ахборотларни ҳисобга олиб, ўзига хос ҳисобий нисбатлардан фойдаланиш орқали;
  
• 
  Эксперименталь масалани ечиш, бунда чиқишдаги параметрларнинг маълум қийматларининг объект моделидан фойдаланилганда олинган натижаларга мос қилиши мақсад функцияси бўлиб хисобланади;
  
• 
  экспериментларни ўтказиш ва уларнинг натижаларини ишлаб чиқиш орқали.
  

5) Олинган моделнинг аниқлигини баҳолаш ва унинг адекватлик соҳасини аниқлаш.
6) Математик моделни фойдаланилаётган моделлар библиотекасида қабул қилинган шаклда тасвирлаш.
Шуни таъкидлаш керакки, келтирилган методиканинг 2……5 босқичлари бир неча марта қайтарилиши мумкин, бунда маъқул натижага эришиш асосий мезон бўлиб ҳисобланади.