Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

Mehnat unumdorligi masalasi. Ishchining ish kuni davomidagi mehnat unumdorligi o‘zgaruvchi miqdor bo‘ladi. Ertalab ish kuni boshlangach, ma’lum bir paytgacha u ishga kirishish jarayonida bo‘lib, bu davrda uning mehnat unumdorligi oshib boradi. So‘ngra ma’lum bir vaqt davomida ishchi deyarli bir xil mehnat unumdorligi bilan ishini davom ettiradi. Ish kuni oxiriga yaqinlashgan sari toliqish natijasida ishchining mehnat unumdorligi pasayib boradi. Shunday qilib, ish kuni davomida t vaqt o‘zgarib borishi bilan ishchining mehnat unumdorligi biror z=z(t) funksiya orqali ifodalanadi. Uni topish uchun ishchining ish kuni boshlangandan keyin t vaqt o‘tgach ishlab chiqargan mahsulot hajmini ifodalovchi h=h(t) funksiya ma’lum deb olamiz. Bu funksiya yordamida ishchining t=t₀ vaqtdagi z₀=z(t₀) mehnat unumdorligini topamiz. Bu maqsadda ish kunining t₀ va t₁=t₀+t vaqt oralig‘ini qaraymiz. Bu vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi h(t₀+t)– h(t₀)=h kabi aniqlanadi. U holda uzunligi t bo‘lgan bu vaqt oralig‘idagi ishchining o‘rtacha mehnat unumdorligi nisbat orqali aniqlanadi. Bu yerdan ishchining t=t₀ vaqtdagi z₀=z(t₀) mehnat unumdorligini topish uchun t0 deb olishimiz kerak va natijada

(3)
formulaga ega bo‘lamiz.
Bu uchala masala mazmunan turlicha bo‘lsa ham, ularni yechish bir xil matematik usulda amalga oshirilganligi va bu yechimlar (1)–(3) formulalar orqali bir xil ko‘rinishida ifodalanganligini ta’kidlab o‘tamiz.

2. 
   Hosila ta’rifi va uning amaliy ma’nolari. Yuqoridagi masalalarni yechish uchun amalga oshirilgan ishlarni umumiy holda qaraymiz. Bizga biror y=f(x) funksiya berilgan. Bu funksiyaning aniqlanish sohasiga kiruvchi x₀ va x=x₀+x argument qiymatlarini qaraymiz, ya’ni x₀ nuqtada argumentga x orttirma beramiz. Argumentning bu x orttirmasiga mos keluvchi y=f(x) funksiyaning y=f= f(x₀+x)–f(x₀) orttirmasini topamiz. So‘ngra f funksiya orttirmasining x argument orttirmasiga nisbatini x→0 holdagi limitini hisoblaymiz.
   

2-TA’RIF: Berilgan y=f(x) funksiyaning f orttirmasining x argument orttirmasiga nisbati x0 bo‘lganda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi deb ataladi.
Berilgan y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi f ′(x₀) yoki y′(x₀) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan,
(4)
tenglik orqali aniqlanadi.
Misol sifatida f(x)=x² funksiya hosilasini uning ta’rifiga asosan topamiz: f=f(x+x)–f(x) = (x+x)² –x² =2xx +(x)² =>
.
Demak, (x²)=2x. Shunday tarzda x′=1 va (x³)=3x² ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Oldin ko‘rilgan masalalarning (1)–(3) javoblarini kiritilgan hosila tushunchasi orqali ifodalaymiz. Harakat tenglamasi S=S(t) funksiya bilan ifodalanadigan notekis harakatda t₀ vaqtdagi oniy tezlik uchun topilgan (1) natijadan
(1′ )
formulani hosil qilamiz.
Demak, y=f(x) funksiyaning hosilasi uning o‘zgarish tezligini ifodalaydi va bu hosilani mexanik ma’nosi deyiladi. Nyuton hosila tushunchasiga mana shu yo‘nalishdagi tadqiqotlari orqali kelgan va uni “flyuktsiya” deb atagan. Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, bu yerda “tezlik” tushunchasi faqat harakat tezligini ifodalamasdan, u keng ma’noda tushuniladi. Masalan, ximiyaviy reaksiya tezligi, texnologik jarayon tezligi, iqtisodiy islohotlarni amalga oshirish tezligi va hokazo.
Endi y=φ(x) funksiya orqali berilgan L chiziqning M₀(x₀,y₀)= M₀(x₀, φ(x₀)) nuqtasiga o‘tkazilgan l₀ urinmaning k burchak koeffitsiyenti ifodalovchi (2) formulani eslab, undan
(2′)
natijaga kelamiz.
Demak, y=f(x) funksiyaning hosilasi uning grafigini M₀(x₀,y₀)= M₀(x₀, f(x₀)) nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi va bu hosilani geometrik ma’nosi deyiladi. Nyutonning hosila bo‘yicha ishlaridan bexabar holda Leybnits mana shunday geometrik masalalarni yechish jarayonida hosila tushunchasiga kelgan.
Shunday qilib, y=f(x) funksiya grafigining M₀(x₀,y₀)= M₀(x₀, f(x₀)) nuqtasiga o‘tkazilgan urinma tenglamasi
(5)
ko‘rinishda topiladi.
Misol sifatida f(x)=x² parabolaning x₀=3 abssissali nuqtasiga o‘tkazilgan urinma tenglamasini topamiz. Bunda f(x₀)= f(3)=3²=9, f ′(x₀)=2 x₀=2∙3=6 va shu sababli, (5) formulaga asosan, izlangan urinma tenglamasi
y=6(x–3)+9 => y=6x–9
ko‘rinishda bo‘ladi.
Mehnat unumdorligi to‘g‘risidagi masalaning (3) javobini hosila orqali
(3′)
ko‘rinishda yozish mumkin. Demak, y=f(x) funksiya x vaqtgacha ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini ifodalasa, uning hosilasi f ′(x) shu x vaqtdagi mehnat unumdorligini ifodalaydi va buni hosilaning iqtisodiy ma’nosi deb qarash mumkin.

3.