Gruppa tushunchasi

Siklik gruppalar

Ixtiyoriy gruppaning elementini olib , uning barcha butun darajalaridan tuzilgan

(1)

To`plamni qaraymiz. ekanligi ravshan , chunki xar bir butun daraja ning elementidir.

1-teorema. to`plam ning qism gruppasidir

Isbot. Qism gruppaning zaruriy va yetarli sharti bajariladi:

va

ni element tomonidan vujudga keltirilgan siklik gruppa deyiladi va kabi belgilanadi.

Bu yerda ham ikki xol ro`y berishi mumkin:

1-xol. da har xil elementlar soni chekli, ya`ni chekli gruppa. Masalan , gruppa chekli bo`lganda bu xol albatta ro`y beradi . Demak bu xolda ning (1) darajalari orasida bir biriga tenglari albatta bor, ya`ni



Bunda ,chunki shartda (2) tenglik bitta darajani ifodalaydi. Bu yerda deb faraz qilsak , (2) dan

=

kelib chiqadi. Demak ning ga teng musbat darajalari mavjud. Bunday daraja ko`rsatkichlar orasida eng kattasi yo`q, chunki istalgan natural son uchun (3) bilan birga

ham o`rinli . lekin ular orasida eng kichigi bor; uni bilan belgilaymiz; shartda bo`lib , shartda esa dir. Shunday qilib,

(4)svirlaydi

Tenglik bajarilib, lekin musbat son uchun bo`ladi.