Gruppa tushunchasi

4-teorema. Chekli gruppaga qarashli xar bir elementning tartibi bu gruppa tartibining bo`luvchisidir.

Isboti. tartibli element tartibli siklik gruppani vujudga keltiradi. Shu sababli Lagranj teoremasiga asosan son gruppa tartibining bo`luvchisidir.

Masalan, elementining tartib, ya`ni 3 son gruppa tartibining, yani 6 ning bo`luvchisidir.

Normal bo`luvchi . Faktor gruppa

Tarif. gruppaning istalgan elementi bilan o`rin almashinuvchi qism gruppasi ning normal bo`luvchisi (invariant qism gruppasi) deyiladi.

Demak, tarifga ko`ra . Masalan, simmetrik gruppaning



Qism gruppasi da normal bo`luvchidir. Bunga ishonch hosil qilish maqsadida istalgan bilan o`rinalmashinuvchi ekanligini tekshirib ko`ramiz: uchun ekanligidan qism gruppa o`zining har bir elementi bilan o`rinalmashinuvchidir. Demak, ni ing qolgan uchta elementi bilan o`rin almashinuvchi ekanini tekshirib ko`rish lozim;

= uchun

va =

dir. Demak,

va uchun va ni tekshirib ko`rish kitobxonga tavsiya etiladi.

Kommutativ gruppaning har bir qism gruppasi normal bo`luvchi bo`ladi.

Endi gruppani normal bo`luvchi bo`yicha qo`shni sistemalarga yoyamiz :

(1)

Elementlari (1) qo`shni sistemalardan iborat

to`plamni qaraymiz.