Kamilova zebiniso nusrat qizi son tushunchasining rivojlanish tarixi va istiqbollari

2.1.1-§ IRRATSIONAL SONLAR

Qadimgi Misrda va Vavilonda XX asr ilgari nisbatlar (ratsional sonlar) bilan ifodalashning imkoni bo`lmagan, o`lchab bo`lmas kesmalar ma’lum bo`lgan ( , , π…).

O`lchab bo`lmas kesmalarni haqiqatda mavjudligini ochish aniq ma’lum emas, ya’ni isbotlanmagan edi. Bular quyidagilarda sodir bo`lgan:
geometrik hisoblashlarda kvadratning tomoni va diagonali orasida umumiy o`lchov birligini topish;
muzika nazariyasida oktavani teng ikkiga bo`lish, 1 va 2 sonlarining o`rta geometrigini topishga keltirilish;
arifmetikada kvadratga oshirish bilan ikkini hosil qiluvchi kasrni topish;
Bu yerda mulohazalar hozirda biz deb biladigan songa teng kattalikni topish haqida borgan. Ikkita kesmaning kvadratning tomoni va diagonali o`rtasida umumiy o`lchov birligi bo`yicha bog`lanishni ifodalab bo`lmasligi usha davrgacha bo`lgan matematikaning, shuningdek qadimgi grek matematikasining krizisiga aylangan edi.
Kesmalarning bir meyor o`lchov birliklari bilan o`lchanmasligi qadimgi grek matematikasining rivojlanishiga to`sqinlik qila olmadi. Greklar bu nomutanosiblikni mutanosib holda hisobga oladigan kesmalarning nisbatlari nazariyasini ishlab chiqishgan. Ular bu kattaliklarni uzunliklari bo`yicha taqqoslashni bu nisbatlar o`rtasida geometrik shaklda xuddi son singari arifmetik amallar bajarishni bilishganlar.
Hindlar irratsional sonlarni sonlarning yangi ko`rinishi sifatida qabul qilishgan va ular ustida ratsional sonlar ustida bajariladigan amallar singari hisoblash ishlarini olib borishgan. Masalan, hind matematigi Bxaskara maxrajdagi irratsionallikni surat va maxrajni shu irratsionallikka ko`paytirish bilan maxrajdagi irratsionallikni yo`qotgan. Unda quyidagi ifodalarni uchratamiz:

Trigonometriya mustaqil fan sifatida taraqqiy etishi bilan, XIII asr ozorboyjn olimi Nasiriddin at-Tusiy (1201 – 1274 yilar) o`zaro bir o`lchovda hisoblab bo`lmaydigan miqdorlarni: “Bu munosabatlarning har birini boshqasi bilan bir xildagi birliklarda ifodalash mumkin bo`lgan miqdorlar”-son sifatida ta’riflagan. Songa shu kabi bahoni Umar Hayyom ham berib o`tgan edi.
Yevropada geometrik birgalikda o`lchovdosh bo`lmagan sonlar o`rta asrlarda birmuncha e’tibordan chetda qolgan bo`lsada, irratsional sonlardan ayrimlari ma’lum simvollar bilan belgilangan holda mavjud bo`lgan. Ularni “Haqiqiy emas”, “kar” kabi nomlashan.
Dekart geometriyasining (1637y) paydo bo`lishi bilan irratsional, manfiy son tushunchasi qo`llanila boshlandi. Dekart g`oyalari son tushunchasini umumlashtirishga olib keldi. Matematikaga noma’lum miqdorlar kiritildi.
R.Dekartning «Geometriya» asari paydo bo`lishi bilan irratsional sonni tushunish osolashdi. Son o`qida irratsional son ham ratsional sonlar bilan birga nuqta sifatida tasvirlandi. Bu bilan Yevropada XVI-XVII asrda sonlarni haqiqiy sonlar bilan kengaytirishga harakatlar boshlandi. Dekart sonlarni kesma bilan ifodalash bilan son va geometrik miqdor orasidagi uzilishni tikladi va algebra va geometriya o`rtasida ko`prik yasadi. N'yuton, Eyler, Lambert, Bolsano, Koshi, Veyershtrass va Dedekindlar o`z haqiqiy sonlarni tushuntirishda katta izlanishar olib borishdi.
XVIII asrda irratsional son bo`yicha uchta tushuncha mavjud edi:
irratsional son butun yoki kasr sondan n-ildiz chiqarishda hosil qilingan son (ildizdan chiqarilganda “aniq” butun yoki kasr miqdor bo`lmagan hol) tushuniladi;
irratsional son unga istalgancha ratsional yaqinlashish mumkin bo`lgan miqdor chegarasi;
irratsional son bir kattalikni shu jinsdagi ikkinchi kattalikka nisbatining birliklarda hisoblash mumkin bo`lmagan sonlari.
Keyinchalik Eyler va Lambert irratsional sonni cheksiz nodavriy o`nli kasrlar ko`rinishida ifodalanadigan sonlar deb ko`rsatishgan. (masalan, π = 3,141592…).
Irratsional son lar o`zining keyingi rivojlanishini XIX asrning ikkinchi yarmida Dedikind, Kantor va Veyershtrasning matematik analiz masalalarini yechish natijalari bilan bo`g`liq.
Ratsional va irratsional sonlar 3-darajali umumlashmasi Haqiqiy sonlarni kelib chiqishini ta’minladi.