Kurs jumíSÍ Kafedra baslıǵı: doc. B. Prenov Qabıllaǵan: B. Mambetkarimov Orınlaǵan: E. Joldasbayeva Nókis 2020 Reje Kirisiw

Матрицанингранги. А матрицанинг сатрлари m та n ўлчовли горизонтал
a ₁ =(a₁₁,a₁₂ ,...,a_1n ), a ₂ =(a₂₁ ,a₂₂ ,...,a_2n ), . . . , a _m =(a_m1 ,a_m2 .,...,a_mn ) (6)
векторларни, устунлари эса n та m ўлчовли вертикал векторларни ташкил қилади. Уларнигоризонталвекторларданфарққилишучун
a ¹=(a₁₁,a₂₁ ,...,a_m1 ), a ² =(a₁₂ ,a₂₂ ,...,a_m2 ), . . . , a ⁿ=(a_1n ,a_2n .,...,a_mn ) (7)
кўринишдабелгилаймиз.
1-таъриф. a ₁ ,a ₂, . . . ,a _m векторларсистемасинингранги Aматрицанингсатрларбўйичаранги, a ¹, a², . . . , a ⁿвекторларсистемасинингрангигаэсаАматрицанингустунларбўйичарангидейилади.
1- теорема. Элементар алмаштиришлар матрицанинг рангини ўзгартирмайди.
2-теорема. Ҳар бир матрицанинг сатр бўйича ранги устун бўйича рангига тенг.
Чизиқли тенгламалар системасининг ранги деб унинг матрицасининг рангига айтилади.
Агар нолмас сатрга эга бўлган матрицадаги k-нолмас сатрдаги биринчи нолдан фарқли элемент(k-1)-нолмас сатрдаги биринчи нолдан фарқли элементдан ўнг томонда турса бундай матрицага поғонали матрица дейилади. Тушунарлики матрицанинг ранги унинг поғонали кўринишидаги нолдан фарқли сатрлар сонига тенг.
Mисол. Ушбу матрицанинг рангини ҳисобланг

   .
Шундай қилиб, берилган матрицанинг ранги r(A)=3 .
Фараз этайлик бизга m×n -тартибли A=(a_{i j}) матрица берилган бўлсин. Биз бундан аввал матрицанинг рангини элементар алмаштиришлардан фойдаланиб ҳисоблаш мумкин эканлигини курган эдик. Энди ушбу теоремани исботлаймиз.
Юқорида келтирилган матрицанинг ранги таърифидан фойдаланиб, қуйидаги масалани қараймиз.
Мисол-1: Қуйидаги
(8)
тенгламалар системасининг асосий ва кенгайтирилган матрицалари ранглари қандай қийматларни олади? Рангнинг қандай қийматларида берилган тенгламалар системаси биргаликда бўлади?
Ечиш. Асосий ва кенгайтирилган матрицаларини ёзиб оламиз,

Биз биламизки, кенгайтирилган матрица, асосий матрицага озод ҳадлардан иборат устунни қўшиб ҳосил қиламиз, унинг ранги матрицанинг рангига тенг, ёки А матрицанинг рангидан 1 тага кўп бўлади. Бошқа тарафдан матрицанинг ранги унинг сатрларидан ошиб кетмайди, яъни ранг ранг . Шунинг учун қуйидаги ҳолатлар рўй бериши мумкин:

Теорема– 1 (Кронекер - Капелли)
Берилган чизиқли тенгламалар системасининг биргаликда бўлиш учун тенгликнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.
Берилган система юқоридаги теоремага кўра 1, 3, 5, 7- ҳолатларда биргаликда бўлади.
Геометрик нуқтаи назардан уч номаълумли чизиқли тенглама декарт координаталар системада текисликни ифодалайди. Текисликларни мос равишда орқали белгилаймиз. Берилган системасининг барча ечимларини топиш деганда, ва текисликларнинг барча кесишиш нуқталарини топиш тушунилади.
Агар тенгламалар системаси биргаликда бўлмаса, бундай нуқталар мавжуд эмас.

1. 
   бу ҳолатда юқоридаги учта тенглама биргаликда бўлиб, ягона ечимга эга бўлади. (а-чизма)
   
2. 
   бунда уччала текислик битта тўғри чизиқ орқали кесишади, яъни асосий ва кенгайтирилган матрицаларнинг фақат иккита сатри элементлари пропорционал бўлмасдан,волган битта сатри шу иккита сатр элементларининг чизиқли комбинациясидан иборат бўлади.
   
3. 
   Бу ҳолда система биргаликда бўлмайди, яни текисликлар умумий нуқтага эга бўлмайди.
   
4. 
   бу вақтда берилган тенгламалар системаси чексиз кўп ечимга эга бўлиб, у система фақат битта чизиқли эркли тенгламадан иборат бўлиб қолади. Демак текисликлар уччаласи устма – уст тушади.
   

Юқоридаги ҳолатлардан биз бўлган ҳолатни кўриб чиқамиз. Асосий матрицасининг ранги 2 га, кенгайтирилган матрицанинг ранги 3 га тенг бўлганда текисликларнинг геометрик ҳолати қандай изоҳланади? бўлса, матрицанинг 2-тартибли минорларидан бири нолдан фарқли, матрицанинг 3-тартибли минори нолга тенг.
Масалан: бўлсин, у ҳолда ва текисликлар кесишади. Учинчи текислик ва текисликларнинг кесишишни чизиғи билан кесишмайди. Шундай қилиб, 3 та текисликларнинг умумий нуқтаси мавжуд эмас. ва текисликлар тўғри чизиқ бўйича кесишади, учинчи текислик бу тўғри чизиққа параллел бўлади. Демак юқоридаги мулоҳазалардан қуйидаги натижа ўринли:
Натижа: (1) системада бўлса, у ҳолда системани ташкил этувчи текисликлар ихтиёрий иккитасининг кесишиш чизиғи, учинчи текисликка параллелдир.
Мисол-1: Қуйидаги тенгламалар системаси ечинг

Бу тенгламалар системасининг коэффициентларидан тузилган асосий ва кенгайтирилган матрицаларини тузамиз:

Бу матрицаларнинг рангини ҳисобласак эканлигини кўрамиз. Бундан эса қуйидаги хулосани чиқаришимиз мумкин. Тенгламалар системасини ташкил қилувчи текисликларнинг иҳтиёрий иккитаси тўғри чизиқ бўйича кесишади, учинчи текислик эса, бу тўғри чизиққа параллел бўлади. Бу мулоҳазаларимизни қаралаётган мисолда кўриб чиқамиз.

иккита текисликнинг кесишишидан ҳосил бўлган тўғри чизиқнинг йўналтирувчи векторини топамиз. Иккита текисликнинг нормал векторларининг вектор кўпайтмаси тўғри чизиқнинг йўналтирувчи вектори бўйича йўналган бўлади.


Келтирилган натижага кўра, тўғри чизиқнинг йўналтирувчи вектори билан учинчи текисликнинг нормал вектори перпендикуляр бўлади, яъни