Ma’ruza 1-modul. Dastlabki tushunchalar. Hodisalar va ularning ehtimollari (6 soat)

225-masala. Korrelyatsion jadvalda berilgan ma`lumotlar bo`yicha

Regressiya tenglamasini tuzing Y ning X ga korrelyatsiyasining kuchini (zichligini) korrelyatsion nisbat bo`yicha baholang:

X Y	2	3	5	ny
25	20	-	-	20
45	-	30	1	31
110	-	1	48	49
nx	20	31	49	n=100

Yechish. A, B va C koeffisientlarni toppish uchun

Tenglamalar sistemasidagi parametrlar A, B va C oldidagi koeffisientlarni quyidagi jadvalda keltirigandek hisoblab olamiz:

x	nx
2	20	25	40	80	160	320	500	1000	2000
3	31	47,1	93	279	837	2511	4380	4380	13141
5	49	108,67	245	1225	6125	30625	5325	26624	133121
	100		378	1584	7122	33456	7285	32004	148262

Jadvalning so`ngi satridagi mos sonlarni yuqoridagi sistemaga qo`yib

ni hosil qilamiz. Bu sistemani yechib

A = 2,94, B = 7,27, C =-1,25

larni topamiz. Topilgan parametr qiymatlarini regressiya tenglamasi

ga qo`yib, izlanayotgan regressiya tenglamasi

ni hosil qilamiz.

Endi Y ning X ga korrelyatsiyasining kuchini (zichligini) rorrelyatsion nisbat bo`yicha baholash uchun quyidagilarni topamiz:

(Y belgining umumiy o`rtachasi);

(Y belgining umumiy o`rtacha kvadratik chetlanishi);

(guruhlar aro ya`ni shartli o`rtachalar o`rta kvadratik chetlanishi).U holda tanlanma korrelyatsion nisbat formulasi

ga ko`ra, Y ning X ga korrelyatsiyasining kuchini (zichligini)

bo`ladi.

XV.2.Shartli o‘rtacha qiymatlar. To‘plamiy korrelyatsion bog`lanish . Chiziqli bo‘lmagan korrelyatsion bog‘lanish
Bir necha belgilar orasidagi korrelyatsiyaga to`plamiy korrelyatsiya deyiladi.

Eng oddiy to`plamiy korrelyatsiya belgilar soni uchta va boglanich chiziqli bo`lgan holder:

z =ax +by + c.

Bu holda quyidagi masalalarni hal qilish rerak:

1) kuzatish ma`lumotlari (tanlanma) bo`yicha bog`lanishning

z = Ax +By +C

korinishdagi tanlanma tenglamasini ya`ni A, B va C parametrlarni toppish;

2) Z bilan ikkala X, Y belgi orasidagi bog`lanish zichligini aniqlash;

3) Z va X ( Y o`zgarmas bo`lganda) orasidagi, Z va Y ( X o`zgarmas bo`lganda) orasidagi bog`lanish zichligini baholash.

Birinchi masala eng kichik kvadratlar usuli yordamida yechiladi, bunda

z = Ax +By +C

tenglama o`rniga

ko`rinishdagi bog`lanish tenglamasini izlash qulayroq, bu yerda
;
bo`lib, - lar mos ravishda X va Z, Y va Z, X va Y belgilar orasidagi korrelyatsiya koeffisitntlari; - lar esa o`rta kvadratik chetlanishlardir.

Z belgining X, Y belgilar bilan bog`lanish zichligi ushbu tanlanma to`plamiy korrelyarsiya koeffisienti bilan baholanadi:

,
Shu bilan birga .

Z va X ( Y o`zgarmas bo`lganda) orasidagi, Z va Y ( X o`zgarmas bo`lganda) orasidagi bog`lanish zichligi mos ravishda ushbu xususiy tanlanma korrelyatsiya koeffisienti bilan baholanadi:

;.
230-masala.Quyidagi jadvalda bodringnini uzunligi (X), yo`g`onligi (Y) va og`irligi (Z) haqida ma`lumotlar keltirilgan.Bodringning o`zgarmas og`irlikda uzunligi va yo`g`onligi orasidagi korrelyatsiyani toping:

X(sm)	Y(sm)	Z(kg)	X(sm)	Y(sm)	Z(kg)
12 10 10 14 12 16 12 8 10	6 5 3 7 4 5 6 4 5	150 50 50 250 50 250 250 50 150	8 12 12 10 14 12 16 14 14	5 7 4 6 5 3 6 4 5	50 250 150 150 250 50 250 150 150

Yechish. Oddiy hisoblashlar yordamida X va Z, Y va Z, X va Y belgilar orasidagi korrelyatsiya koeffisientlari - larni topamiz(?):

=0,25, =0,71, =0,71. Bodringning og`irligi (Z) ortganda uning (X) uzunligi va (Y) yo`g`onligi parallel ortadi. Endi

ga asosan

Shunday qilib, bodringning o`zgarmas og`irlikda uzunligi va yo`g`onligi orasidagi xususiy tanlanma korrelyatsiya koeffisienti ga tehg.

XVI.Statistik gipotezalar

XVI.1. Statistik gipotezalar va ularning klassifikatsiyasi

XVI.2. Statistik gipotezalarda I va II tur xatoliklar

XVI.1. Statistik gipotezalar va ularning klassifikatsiyasi

XVI.1. Statistik gipotezalar va ularning klassifikatsiyasi

Matematik statistikada qaralayotgan masalalarda o‘rganilayotgan X tasodifiy miqdorning taqsimoti yoki uni aniqlovchi parametrlar noma’lum bo‘ladi. Ba’zi xollarda masalaning mohiyati yoki tajribaga asoslanib, bu noma’lum taqsimot F(x) funksiya ko‘rinishda yoki taqsimot parametri  ga teng degan fikrga, taxminga kelamiz. Bu taxminimiz to‘g‘ri yoki noto‘g‘ri bo‘lishi mumkin. Buning uchun uni statistik kuzatuv natijalariga asoslanib tekshiramiz. Shu sababli bunday taxminlar statistik gipoteza deb ataladi.

Biz to‘g‘ri deb qarayotgan statistik gipotezaasosiy (nolinchi) taxmin deb ataladi va N₀ kabi belgilanadi. O‘ng a zid fikrni ifodalovchi taxmin esa raqobatchi (konkurent) yoki muqobil (alternativ) taxmin deyiladi va N₁ kabi belgilanadi.

Masalan, noma’lum  parametr uchun asosiy taxmin =3 deb ta’kidlasa (kiskacha N₀ : =3), muqobil taxmin N₁: =5 yoki N₁: <3 yoki N₁: 3 kabi ko‘rinishlarda bo‘lishi mumkin. Asosiy N₀ taxminning to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligi tanlanmadagi kuzatuv natijalariga asosan tekshiriladi. Bu kuzatuv natijalari tasodifiy haraqterga ega bo‘lgani uchun statistik taxminni tekshirishda ikki tur xatolikka yo‘l qo‘yishimiz mumkin.

I tur xatolik shundan iboratki, unda to‘g‘ri bo‘lgan N₀ taxmin noto‘g‘ri deb, rad etiladi.

II tur xatolikda esa noto‘g‘ri bo‘lgan N₀ taxmin to‘g‘ri deb qabul kilinadi.

Masalan, N₀ asosiy taxmin «ishlab chiqarilgan mahsulotlar partiyasi sifatli» degan ma’noga ega bo‘lsin. Bu xolda I tur xatolikda sifatli mahsulotlar partiyasi sifatsiz deb hisoblanadi. Shu sababli bu xatolikni ishlab chiqaruvchining tavakkali deb qarash mumkin.

II tur xatolikda esa sifatsiz mahsulotlar partiyasi sifatli deb hisoblanadi. Shu sababli bu xatolikni iste’molchining tavakkali deb qarash mumkin.

Statistik taxminlarni tekshirish uchun maxsus bir K tasodifiy miqdor olinadi va u statistik mezon (kriteriy) deb ataladi. Bu statistik mezon K shunday tanlanishi keraqki, N₀ asosiy taxmin o‘rinli degan farazda uning taqsimoti aniq yoki takribiy topilishi mumkin bo‘lsin.

Tegishli K statistik mezon tanlangach, uning mumkin bo‘lgan qiymatlar to‘plami S ikkita kesishmaydigan S₁ va S₂ kism to‘plamlarga ajratiladi (S₁S₂ =S, S₁S₂ =). Agarda KS₁ bo‘lsa, N₀ asosiy taxmin qabul kilinadi va S₁ taxminni qabul kilinish sohasi deb ataladi. Agarda KS₂ bo‘lsa N₀ asosiy taxmin rad etiladi va S₂ kritik soha deyiladi.

N taxmin o‘rinli bo‘lganda K statistik mezonning ehtimolliklar taqsimotini Rn orqali belgilaymiz. Bu xolda Rn (KS₂) I tur xatolik ehtimolligini , Rn( KS₁) esa II tur xatolik ehtimolligini ifodalaydi. Bunda Rn (KS₂)= soni statistik mezonning qiymatdorlik darajasi deb ataladi va odatda =0,05 yoki 0,01 deb olinadi. Agarda Rn( KS₁)= deb olsak, 1- soni statistik mezonning quvvati deb ataladi. Bunda

1-=1- Rn( KS₁)= Rn( KS₂) bo‘lgani uchun, mezon quvvati noto‘g‘ri taxminni rad etish yoki II tur xatolikka yo‘l qo‘ymaslik ehtimolligini ifodalaydi.

Albatta I va II tur xatoliklari ehtimolliklari  va  kancha kichik bo‘lsa , statistik taxminni tekshirish natijasi shuncha yaxshi bo‘ladi. Ammo  va  ehtimolliklarni bir paytda kichraytirish mumkin emas va  kanchalik kichik bo‘lsa,  shunchalik katta bo‘ladi. Shu sababli statistik mezonning qiymatdorchilik darajasi  qaralayotgan masalaning mohiyatiga qarab, tadkikotchi tomonidan beriladi. Berilgan  buyicha II tur xatolik ehtimolligi  eng kichik, ya’ni kriteriy quvvati maksimal bo‘lgan kritik S₂ soha matematik statistikaning Neyman va Pirson teoremalari orqali aniqlanadi.

Shunday kilib, statistik taxminni tekshirish qo‘yidagi boskichlardan iborat bo‘ladi:

1. 
   X tasodifiy miqdor ustida n ta boglikmas kuzatuvlar utkazib,
   

x₁ , x₂ , …, x_n

tanlanma hosil kilamiz ;

2. 
   Asosiy N₀ va mukobil N₁ statistik taxminlarni kiritamiz ;
   
3. 
   K=K(X₁, X₂,..X_n) statistik mezonni tanlaymiz va uni N₀ taxmindagi Rn(K) taqsimotini topamiz ;
   

4. Masala mohiyati, mazmuniga qarab =0.05 yoki =0.01 qiymatdorchilik darajasini beramiz;

5.Neyman va Pirson teoremalari va Rn(KS₂)= tenglamadan foydalanib S₂ kritik sohani topamiz;

6. K=K(X₁, X₂,..,X_n) statistik mezonda X₁, X₂,..,X_n tasodifiy miqdorlar urniga tanlanmaga tushgan x₁, x₂,..,x_n sonlarni qo‘yib, statistik mezonning Kkuz=K(x₁, x₂,..,x_n) kuzatilgan qiymatini hisoblaymiz.

7. Kkuz S₂ bo‘lsa, H₀ asosiy taxminni rad etamiz, Kkuz S₁ bo‘lsa uni qabul kilamiz.

Shuni ta’kidlab utish keraqki, statistik tekshiruv natijasida H₀ taxmin qabul kilinganidan, uning to‘g‘ri ekanligi isbotlangan bo‘lmaydi. Bunday xollarda H₀ taxmin boshka usullar yoki tanlanma xajmini oshirish yordamida kayta tekshiriladi. Shu sababli matematik statistikada H₀ asosiy taxminni rad etishga ko‘prok haraqat kilinadi.

Tanlab olingan K statistik mezonning barcha qiymatlar to‘plami S biror oraliqlardan iborat bo‘ladi. Shu sababli taxminni qabul kilish sohasi S₁ va kritik soha S₂ ham oraliqlardan iborat bo‘lib, ularni ajratib turuvchi nuktalar kritik nuktalar deyiladi va k_kp kabi belgilanadi.

K>k_kp>0 tengsizlik bilan aniqlanadigan (k_kp,) oraliq o‘ng tomonlama, Kkp<0 tengsizlik bilan aniqlanadigan (-,k_kp) oraliq chap tomonlama kritik soha deyiladi. K< k₁ va K> k₂ ( k₁>k₂) tengsizliklar bilan aniqlanadigan (-,k₁) (k₂ ,) soha ikki tomonlama kritik soha deyiladi.

Kritik nuktalar K mezon uchun berilgan  qiymatdorchilik darajasiga qarab

Rn(K> k_kp)= yoki Rn(K< k_kp)= yoki Rn(K< k₁, K>k₂)= tenglamadan topiladi. Odatda ko‘p ishlatiladigan statistik mezonlar uchun bu tenglamaning ildizlari maxsus jadvallardan topiladi.

XVI.2. Statistik gipotezalarda I va II tur xatoliklar
Noma`lum taqsimotning korinishi haqidagi yoki ko`rinishi (formasi) ma`lum taqsimotning noma`lum parametrlari haqidagi gipotezaga statistic gipoteza deyiladi.

Ilgari surigan dastlabki gipoteza nolinchi (asosiy) gipoteza deyiladi va H₀ korinishida belgilanadi.

Nolinchi gipoteza Ho ni inkor qiluvchi unga zid gipoteza konkurent (alternativ – muqobil) gipoteza dyiladi H₁ korinishida belgilanadi.

Gipotezani tekshirish natijasidada quyidagi ikki tur xatoga yo`l qo`yilishi mumkin:

1.Birinchi tur xato – bu to`g`ri gipoteza rad etilib qabul qilinmaydi.Birinchi tur xatoga yo`l qo`yish ehtimoli qiymatdorlik darajasi deyiladi va - bilan belgilanadi.

2.Ikkinchi tur xato – bu noto`g`ri gipoteza qabul qilinadi. Ikkinchi tur xatoga yo`l qo`yish ehtimoli - bilan belgilanadi.

Gipotezaning to`g`riligini tekshirish uchun xizmat qiladigan maxsus taqsimot (normal, (xi kvadrat), Student, Fisher-Snedekor va h.k.) qonuniga ega K – tasodifiy miqdorga statistic kriteriy deyiladi.

K – kriteriyning olingan tanlanmalar bo`yicha hisoblangan K_kuzat. qiymatiga kriteryning kuzatilgan qiymati deyiladi.

K – kriteriyning nolinchi H₀ gipotezani rad qiladigan qiymatlar to`plami kritik sosha deyiladi.

K – kriteriyning nolinchi H₀ gipoteza qabul qilinishini asoslaydigan qiymatlar to`plamiga gipotezaning qabul qlinish sohasi deyiladi.

Kritik soshani gipotezaning qabul qlinish sohasidan ajratib turadigan k_kr - nuqtalarga kritik nuqtalar deiladi.

k_kr musbat bo`lganda K > k<sub>kr</sub> tengsizlik bilan aniqlanadigan K – kriteriyning qiymatlari to`plamiga o`ng tomonlama kritik soha deyiladi.

k_kr manfiy bo`lganda K < k<sub>kr</sub> tengsizlik bilan aniqlanadigan K – kriteriyning qiymatlari to`plamiga chap tomonlama kritik soha deyiladi.

O`ng yoki chap tomonlama kritik sohalarning faqat bittasi bilan aniqlanadigan (k<sub>kr</sub> kritik nuqta bitta bo`lganda) kritik sohaga bir tomonlama kritik soha deyiladi.

k_kr kritik nuqta ikkita ( k₁va k₂ ) bo`lib, k<sub>1</sub> < k<sub>2</sub> bo`lganda K < k₁ va K > k₂ tengsizliklar bilan aniqlanadigan kritik sohaga ikki tomonlama kritik soha deyiladi.

Kritik sohalar quyidagi munosabatlardan aniqlanadi( - soni oldindan belgilanib, qiymatdorlik darajasi deyiladi):

1) O`ng tomonlama kriti soha uchun

();

2) Chap tomonlama kritik soha uchun

();

3) Ikki tomonlama kritik soha uchun

va ().

Har - bir maxsus kriteriyalar (normal, (xi kvadrat), Student, Fisher-Snedekor va h.k.) uchun kritik nuqtalarni toppish jadvallari berilgan bo`ladi.

Statistik gipotezalarni tekshirishning asosiy prinsipi kriteriyning tanlanmalar bo`yicha hisoblangan kuzatilgan qiymati K<sub>kuzat.</sub> kritik sohaga tushsa nolinchi Ho gipotezani qabul qilmaslik, aksincha kriteriyning kuzatilgan qiymati K<sub>kuzat</sub> gipotezaning qabul qlinish sohasiga tushsa nolinchi Ho gipotezani qabul qilishga asoslangan.
233-masala. Normal taqsimlangan ikkita bosh to`plamning noma`lum dispersiyalarini taqqoslash uchun kriteriydan foydalaniladi.Bu yerda va lar dispersiyalari taqqoslanayotgan bosh to`lamlardan olingan tanlarmalar bo`yicha hisoblangan tanlanma dispersiyalar bo`lib, mos holda ularning kichig va kattasi. Agar ikkita bosh to`plamdan olingan hajmlari 6 va 9 bo`lgan tanlanmalar bo`yicha hisoblangan tanlanma dispersiyalar mos holda D<sub>t(6)</sub> = 42 va D<sub>t(9)</sub> = 31 ga teng bo`lsa, kriteriyaning kuzatilgan qiymati F_kuzat. ni toping.

Yechish. Bosh to`plamlarning tuzatilgan dispersiyalari

ga ko`ra mos holda

va

bo`ladi. Endi bulardan va

ga ko`ra, kriteriyaning kuzatilgan qiymati F_kuzat

bo`ladi.