Ma’ruza 1-modul. Dastlabki tushunchalar. Hodisalar va ularning ehtimollari (6 soat)

250-masala. Go`zadagi ko`saklar soni tekshirilib, tasodifiy tanlangan 200 ta go`za bo`yica quyidagi tanlanma olingan. Tanlanma bo`yicha nazariy chastotalar hisoblansin:

	5	7	9	11	13	15	17	19	21
	16	26	25	30	26	21	24	20	13

Yechish. Yuqoridagi formuladan foydalanib hisoblaymiz: tanlanmadan = 12,63 = 4,695 larni aniqlaymiz. Shunday qilib, i = 1 da


bo`ladi. Endi jadvaldan da ni topamiz. Nihoyat

ga ko`ra,

ni hosil qilamiz. Bu hisoblashlarni har bir varianta uchun bajarib, quyidagi jadvalni tuzamiz:

i
1 2 3 4 5 6 7 8 9	5 7 9 11 13 15 17 19 21	-1,62 -1,20 -0,77 -0,35 0,08 0,51 0,93 1,36 1,78	0,1074 0,1942 0,2966 0,3752 0,3977 0,3503 0,2589 0,1582 0,0818	9,1 16,5 25,3 32,0 33,9 29,8 22,0 13,5 7,0

Berilgan a aniqlik darajasida : «Bosh to`plam normal taqsimlangan» degan gipoteza quyidagicha tekshiriladi:

1. 
   nazariy chastotalar hisoblanadi;
   
2. 
   Pirson kriteriyasining
   

kuzatilgan qiymati hisoblanadi;

3) xi-kvadrat taqsimotning kritik nuqtalari jadvalidan a va lar bo`yicha _kr(a, k) ning qiymati topiladi;

4) bilan _kr(a, k) taqqoslanadi;

5) Agar <_kr(a, k) bo`lsa, gipotezani rad etishga asos yoq.

6) Agar >_kr(a, k) bo`lsa, gipoteza rad etiladi.

XVIII.Bosh to`plamlarningning o`rtachasi va dispersiyalarini taqqoslash

XVIII.1. Normal taqsimlangan bosh to`plamlar o`rta qiymatlarini taqqoslash

XVIII.2. Normal taqsimlangan bosh to`plamlar dispersiyalarini taqqoslash

XVIII.1. Normal taqsimlangan bosh to`plamlar o`rtaqiymatlarini taqqoslash

Normal tagsimlangan X va Y bosh to`plamlarning ikala paramertlari (a –matemati kutilishi, - dispersiyasi) ham noma`lum bo`lib, gipotezani alternativ gipotezada a - aniqlik darajasi bilan tekshirish talab qilinsin.Bunday holda avvolo a - qiymatdorlik darajasi bilan gipoteza tekshiriladi. Agar bu o`rinli bo`lsa, bu shartda normal tagsimlangan X va Y bosh to`plamlarning o`rta qiymatlari tengligi haqidagi gipoteza Styudent kriteriyasi



Bu yerda , lar X va Y bosh to`plamlardan olingan tanlanmalar bo`yicha hisoblangan tanlanma o`rtachalar bo`lib, , lar esa tuzatilgan tanlanma dispersiyalardir.

Asosiy gipoteza to`g`ri bo`lsa, t.m. n+m-2 – ozodlik darajali Styudent taqsimotiga bo`ysinadi.Gipotezani tekshirish uchun t.m. ning kritik qiymati t_kr=t(n+m-2; a) Styudent taqsimoti jadvalidan topilib, u miqdor bilan taqqoslanadi:

1) t_kuzkr bo`lsa, a qiymatdorlik darajasi bilan asosiy gipoteza ni rad etishga asos yoq, yani H₀ gipoteza qabul qilinadi.

2) t_kuz>t_kr bo`lsa, asosiy H₀ gipoteza rad etilib, unga alternativ gipoteza a qiymatdorlik darajasi bilan qabul qilinadi.

261-masala. X va Y navli paxtalar bo`yicha o`tkazilgan tajriba natijalari asosida, bosh to`plamlarni normal taqsimlangan deb faraz qilinib, a=0,05 qiymatdorlik darajasi bilan asosiy gipoteza ni alternativ shartda tekshiring:

Tajribalar tartibi	X nav ts/ga	Y nav ts/ga
1	25	30	-4	-3	16	9
2	30	35	1	2	1	4
3	28	40	-1	7	1	49
4	32	27	3	6	9	36
5	29	-	0	-	0	-
	`=29	`=33			27	98

Yechish: 1) avvolo gipotezani: shartda tekshiramiz n=5, m=4 larda

=

va


Fisher-Snidekor taqsimoti jadvalidan F_kr=F(3; 4; 0,05)=6,59 ni topamiz. Demak bularga asosan F_kuzkr bo`lgani uchun asosiy gipoteza qabul qilinadi..

2)Styudent kriteriyasi yordamida talab qilingan gipotezani H₁ shartida tekshiramiz:



n + m – 2 = 5 + 4 - 2 = 7 va a=0,05 larga asosan jadvaldan t_kr=t(7; 0,05)=2,36 ni topamiz. Nihoyat t_kuzkr (1,4<2,36) bo`lganligi uchun ikkala navdagi paxtaning o`rtacha hosildorliklari teng degan asosiy gipoteza a=0,05 qiymatdorlik darajasi bilan qabul qilinadi.

XVIII.2. Normal taqsimlangan bosh to`plamlar dispersiyalarini taqqoslash

Normal tagsimlangan X va Y bosh to`plamlarning dispersiyalari tengligi haqidagi gipotezani - qiymatdorlik (aniqlik) darajisida tekshirish ta`lab qilinsin. va bo`lgani uchun yuqoridagi nolinchi gipotezani ko`rinishda yozish mumkin.

Bu gipotezani tekshirish uchun X va Y bosh to`plamlardan olingan va hajmli tasodifiy tanlanmalar bo`yicha mos holda va tuzatilgan tanlanma dispersiyalar topiladi. gipotezani tekshirish kriteriysi (mezoni) sifatida va lardan kattasining kichigiga nisbati, ya`ni t.m. (tasodifiy miqdor) olinadi.

t.m. gipoteza o`rinli degan shartda k₁=n₁-1 va k₂=n₂-1 ozodlik darajali Fisher-Snedekor taqsimotiga ega.

gipoteza quyidagicha tekshiriladi:

Qoida. Oldindan berilgan a qiymatdorlik darajasida gipotezaga zid (alternativ) gipoteza bo`lganda, ning to`riligini tekshirish uchun:

miqdor hisoblanadi.; So`ngra Fisher-Snedekor taqsimotining kritik nuqtalari jadvalidan berilgan a, n, k<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>-1, k<sub>2</sub>=n<sub>2</sub>-1 lar bo`yicha F_kr(a, k₁, k₂) topiladi.

Agar:

A) F_kuzkr bo`lsa, H<sub>0</sub> gipotezani a qiymatdorlik darajasi bilan rad etishga asos yo`q;

V) F_kuz>F_kr bo`lsa, u holda H₀ gipoteza rad qilinadi va H₁ alternativ gipoteza qabul qilinadi.

257-masala. O`simliklarning X va Y hosildorliklariniini tekshirish jarayonoda =11 va = 14 kuzatishlar o`tkazilib, hosildorlik qiymatlari normal taqsimlangan va kuzatishlar bo`yicha tuzatilgan tanlanma ortacha kvadratik chetlanishlari mos holda =0,76 va = 0,38 ekanligi aniqlangan. Bosh to`plamlar dispersiyalari tengligi haqidagi boshlang`ich gipotezani alternativ gipoteza shartida = 0,05 qiymatdorlik darajasi bo`yicha tekshiring.

Yechish. Oldindan berilgan a qiymatdorlik darajasida gipotezaga zid (alternativ) gipoteza bo`lganda, ning to`riligini tekshirish uchun:

miqdorni hisoblaymiz:

Shartga ko`ra alternativ gipotezada bo`ganligi uchun kritik soha o`ng tomonlamadir.

Jadvaldan = 0,05 qiymatdorlik darajasi va

ozodlik darajalari sonlari bo`yicha

kritik nuqtani topamiz.

Topilganlardan ekanligini ko`ramiz. Demak dispersiyalarning tengligi haqidagi nolinchi gipotezani rad etishga asos yoq. Boshqacha aytganda, tuzatilgan tanlanma dispersiyalarning farqi muhim emas.

XIX. Kritik sohani tanlash haqida qo‘shimcha ma’lumotlar. Kriteriy quvvati

XIX.1. Kriteriy quvvati.Kriteriy quvvatini izlashga doir misol

XIX.2. Bartlett va Kocheren kriteriylari

XIX.1. Kriteriy quvvati.Kriteriy quvvatini izlashga doir misol

Konkurent gipoteza H₁ o`rinli bo`lsa, H_o nolinchi gipotezaning rad qilinish ehtimoliga kriteriyning quvvati deyiladi. Boshqacha qilib aytganda konkurent (muqobil) H₁ gipoteza o`rinli bolish shartida kriteriyning kritik sohaga tushish ehtimoliga kriteriyning quvvati deyiladi.

Ikkinchi tur xatoga yo`l qo`yish ya`ni H<sub>o</sub> gipoteza noto`g`ri bo`lib, uni qabul qilish ehtimoli ga teng bo`lsa, u holda kriteriy quvvati 1- bo`ladi.

Haqiqatdan, agar ikkinchi tur xatoga yo`l qo`yich ya`ni “muqobil H<sub>1</sub> gipoteza o`rinli bolgan holda xato H_o nolinchi gipotezani qabul qilish”ning ehtimoli bo`lsa, u holda unga teskari hodisa “ H<sub>1</sub> gipoteza o`rinli bolgan holda nolinchi gipoteza H_o ni rad etish “ning ehtimoli ya`ni kriteriyning quvvati ga teng.

Aytaylik kriteriyning quvvati ortsin.U holda ikkinchi tur xatoga yo`l qo`yich ehtimoli kamayadi.Shunday qilib, kriteriyning quvvati qancha katta bo`lsa, ikkinchi tur xatoga yo`l qo`yich ehtimoli shuncha kichik bo`ladi.

Kriteriyning quvvatini topishga doir quyidagi misolni qarab chiqamiz.

265-masala. O`rta kvadratik chetlanishi ma`lum bo`lgan normal bosh to`plamdan olingan n = 25 hajmli tanlanma boyicha tanlanma o`rtacha qiymat topilgan. qiymatdorlik darajasida

1) agar bosh o`rta qiymatning gipotetik (taxmin qilinayotgan) a<sub>0</sub> = 20 qiymatga tengligi haqidagi nolinchi gipoteza muqobil gipoteza bo`lganda tekshirilayotgan bo`lsa, kiritik sohani;

2) bosh o`rta qiymatning gipotetik (taxmin qilinayotgan) qiymati a<sub>0</sub> = 16 bo`lsa, tekshirish kriteriysi quvvatini toppish talab qilinadi.

Yechilishi. 1) Muqobil gipoteza ko`rinishda bo`lganligi sababli kritik soha chap tomonlidir.

Normal taqsimlangan bosh to`plamning tanlanma o`ra qiymati bilan gipotetik bosh o`rta qiymatini taqqoslashda

kriteriya kritik sohasi uchun kritik nuqta ning qiymati berilgan qiymatdorlik darajasiga ko`ra Laplas funksiyasi jadvalidan



munosabat bo`yicha topilib, muqobil gipoteza ko`rinishda bo`lganda chap tomonlama kritik sohaning chegarasi deb faraz qilinadi. Demak,



ga asosan, Laplas funksiyasi jadvalidan va bo`ladi.

Shunday qilib, chap tomonlama kritik soha

yoki ,

bundan esa bo`ladi. Demak 16,7 dan chap tomondagi lar kritik sohaga tushgan bo`lib, tanlanma o`rta qiymatining kritik qiymati bo`lar ekan.

2) Qarlayotgan kriteriyning quvvatini hisoblash uchun, avval uning qiymatini bosh o`rta qiymatning gipotetik (taxmin qilinayotgan) qiymati a<sub>0</sub> = 16 bo`lganda, muqobil gipoteza o`rinli shartda deb hisoblaymiz:



By yerdan ko`rinib turibdiki,agar bo`lsa, u holda U < 0,35. bo`lganda nolinchi gipoteza rad qilingani uchun u, shuningdek, U < 0,35 da rad etiladi ( chunki U < 0,35 da bo`lib, a₀ = 16 soni bu tengsizlikni qanoatlantiradi).

Endi Laplas funksiyasidan foydalanib,kriteriy quvvatini, ya`ni muqobil gipoteza o`rinli bo`lganda nolinchi gipotezaning rad qilinish ehtimolini topamiz:

Shunday qilib qaralayotgan kriteriyning izlanayotgan quvvati 0,64 ga teng.

XIX.2. Bartlett va Kocheren kriteriylari

bosh to`plamlar normal taqsimot qonuniga ega bo`lib, bu to`pplamlardan olingan turli n<sub>i</sub> (I = 1,2,…,l) hajmli tanlanmalar asosida tuzatilgan tanlanma dispersiyalar topilgan bo`lsin.

- qiymatdorlik darajasida bosh to`plamlar dispersiyalarining bir jinsliligi ya`ni dispersiyalarning o`zaro tengligi haqidagi nolinchi gipoteza

ni tekshirish talab qilinadi.

Quyidagi beigilashlarni kiritamiz:

i – dispersiyaning ozodlik darajalari soni;

-ozodlik darajalari sonlari yig`indisi;

- tuzatilgan dispersiyalarning ozodlik darajalari sonlari bo`yicha vazniy o`rtacha arifmetik qiymati;

.

Ushbu tasodifiy miqdorga Bartlett kriteriysi deyiladi va u har bir tanlanmaning hajmi bo`lganda, dispersiyalarining bir jinsliligi ya`ni dispersiyalarning o`zaro tengligi haqidagi nolinchi gipoteza



Ning o`rinliligi shartida ozodlik darajasi taqriban l – 1 bo`lgan taqsimotiga ega.

bosh to`plamlar normal taqsimot qonuniga ega bo`lsa, - qiymatdorlik darajasida bosh to`plamlar dispersiyalarining bir jinsliligi ya`ni dispersiyalarning o`zaro tengligi haqidagi nolinchi gipoteza



ni tekshirish uchun bosh to`plamlardan olingan tanlanmalar asosida ( ) Bartlett kriteriysining kuzatilgan qiymati hisoblanadi.So`ngra - taqsimot kritik nuqtalari jadvalidan - qiymatdorlik darajasi va l – 1 ozodlik darajasi bo`yicha kritik nuqta topiladi.

Nihoyat, agar < bo`lsa , nolinchi gipoteza



ni rad etishga asos yo`q. Agar > bo`lsa, nolinchi gipoteza rad etiladi.

Eslatma. C > 1 bo`lganligidan, V ni hisoblab uni bilan taqqoslash lozim; agar V < bo`lsa, u holda C ning qiymatini topmasak ham o`z – o`zidan B < bo`lishi ravshan.Agar V > bo`lsa u holda u holda C ni hisoblab keyin B ni bilan taqqoslash lozim.

Bosh dispersiyaning bahosi sifatida dispersiyalarning bir jinsliligi tasdiqlanganligi shartida dispersiyalarning ozodlik darajalari sonlari bo`yicha olingan vazniy o`rtachasi

olinadi.

bosh to`plamlar normal taqsimot qonuniga ega bo`lib, bu to`pplamlardan olingan bir xil n hajmli tanlanmalar asosida tuzatilgan tanlanma dispersiyalar topilgan bo`lsin.Bu tuzatilgan tanlanma dispersiyalarning barchasining ozodlik darajalari soni k = n – 1 ga teng.

- qiymatdorlik darajasida bosh to`plamlar dispersiyalarining bir jinsliligi ya`ni dispersiyalarning o`zaro tengligi haqidagi nolinchi gipoteza

ni tekshirish uchun ushbu

kriteriy (tasodifiy miqdor) ni qaraymiz.Bu yerda miqdor larning eng kattasi. Bu kriteriyga Kochren kriteriysi deyiladi. Kochren kriteriysi taqsimoti faqat ozodlik darajasi soni k = n – 1 va tanlanmalar soni l ga bog`liq.

bosh to`plamlar normal taqsimot qonuniga ega bo`lsa, - qiymatdorlik darajasida bosh to`plamlar dispersiyalarining bir jinsliligi ya`ni dispersiyalarning o`zaro tengligi haqidagi nolinchi gipoteza



ni tekshirish uchun bosh to`plamlardan olingan bir xil n hajmli tanlanmalar asosida Kochren kriteriysining kuzatilgan qiymati hisoblanadi. So`ngra Kochren taqsimot kritik nuqtalari jadvalidan - qiymatdorlik darajasi, k = n -1 va l ozodlik darajasi sonlari bo`yicha kritik nuqta topiladi.

Nihoyat, agar < bo`lsa , nolinchi gipoteza



ni rad etishga asos yo`q. Agar > bo`lsa, nolinchi gipoteza rad etiladi.

Dispersiyalar bir jinsli bo`lgan shartda bosh dispersiya bahosi sifatida tuzatilgan dispersiyalar o`rta arifmetigi olinadi.

267-masala. Uchta fermer xo`jaligi dalalarida hosildorliklar tekshirilib, n<sub>1</sub> =9, n<sub>2</sub> = 13, n<sub>3</sub> = 15 hajmli uchta erkli tanlanmalar bo`yicha mos ravishda 3,2; 3,8; 6,3 tuzatilgan tanlanma dispersiyalar olingan. 0,05 qiymatdorlik darajasida bosh dispersiyalarning tengligi yani hamma xo`jaliklarda hosildorlklarning o`rtachadan chetlanishlari kvadratlarining arifmetik o`rtachasi bir xil degan gipoteza tekshirilsin.

Yechilish. Quyidagi nisoblash jadvalini tuzamiz:

Tanlanma nomeri(i)	Tanlanma hajmi(ni)	Ozodlik darajalari soni(ki)	Tuzatilgan dispersiyalar(si)
1	9	8	3,2	25,6	0,5051	4,0408
2	13	12	3,8	45,6	0,5798	6,9576
3	15	14	6,3	88,2	0,7993	11,1902
		K = 34		159,4		22,1886

Hisoblash jadvalidan foydalanib, quyidagilarni topamiz:

; = 0,6709;



Jadvaldan 0,05 qiymatdorlik darajasi va l -1 = 3 – 1 =2 ozodlik darajalari soni bo`yicha ni topamiz. Shunday qilib, V = 1,43 < 6,0 bo`lib, B_kuzat. < = 6,0 ( C > 1) bo`ladi. Demak, 0,05 qiymatdorlik darajasida bosh dispersiyalarning tengligi yani hamma xo`jaliklarda hosildorlklarning o`rtachadan chetlanishlari kvadratlarining arifmetik o`rtachasi bir xil degan gipoteza ni rad etishga asos yo`q.