Ma’ruza 1-modul. Dastlabki tushunchalar. Hodisalar va ularning ehtimollari (6 soat)

xk
ny
y1	n11	n21	…	ni1	…	nk1	ny1
y2	n12	n22	…	ni2	…	nk2	ny2
…	…	…	…	…	…	…	…
yj	nij	n2j	…	nij	…	nki	nyj
…	…	…	…	…	…	…	…
ym	n1m	n2m	…	nim	…	nkm	nym
nx	nx1	nx2	…	nxi	…	nxk	n

Bu yerda n_ij (x_i,y_j) - sonlar juftining tanlanmada takrorlanishlar sonini, n_xi x_i - ning tanlanmada takrorlanishlar sonini, n_yj y_j - ning tanlanmada takrorlanishlar sonini va n tanlanmaning hajmi bo`lib,

bo`ladi.

Korrelyatsion jadval ma`lumotlari asosida regressiya koeffisienti



Ko`rinishda aniqlanadi.Bu yerda n<sub>xy</sub> (x<sub>i,</sub>y<sub>j</sub>) – juftlikning takrorlanishlar soni, , lar X va Y larning tanlanma o`rtachalari, - X miqdorning tanlanma dispersiyasi.Bu holda Y ning X ga regressiya tenglamasi



ko`rinishda bo`ladi ( Y miqdorning tanlanma dispersiyasi ).

X ning Y ga regressiya tenglamasi shunga o`xshash

ko`rinishda bo`ladi.

Ushbu

ifodaga korrelyatsiya koeffisienti deyiladi.Bu bo`yicha Y ning X ga regressiya tenglamasi

bo`ladi.

X Y	20	25	30	35	40	ny
16	4	6	-	-	-	10
26	-	8	10	-	-	18
36	-	-	32	3	9	44
46	-	-	4	12	6	22
56	-	-	-	1	5	6
nx	4	14	46	16	20	n =100

216-masala.Quyidagi korrelyatsion jadvaldagi ma`lumotlar asosida Y ning X ga regressiya tehglamasini tuzing:
Yechishsh. Variantala bir-biridan teng uzoqlikda joulashganligi tufayli, soxta nollar sifatida C<sub>1</sub> = 30 (x<sub>i</sub> variantalarnig o`rtadagisi) va C₂ = 36 (y_j variantalarnig o`rtadagisi ) larni olib, quyidagi shartli variantalar korrelyatsion jadvalini tuzamiz:

U V	-2	-1	0	1	2	Nv
-2	4	6	-	-	-	10
-1	-	8	10	-	-	18
0	-	-	32	3	9	44
1	-	-	4	12	6	22
2	-	-	-	1	5	6
Nu	4	14	46	16	20	n =100

Shartli variantalar bo`yicha quyidagilarni bajaramiz:

;

;

;

.

Bular bo`yicha

;

vani e`tiborga olsak regressiya koeffisienti

bo`ladi. Korrelyatsiya koeffisienti

bo`ladi. Endi qadamlar istalgan ikki qo`shni variantalar orasidagi ayirmalarni aniqlaymiz: h₁=25-20=5 (x_i variantalar uchun), h₂=26-16=10 (y_j variantalar uchun). Endi bular va soxta nollar C₁ = 30, C₂ = 36 ni e`tiborga olsak

;

;

;

Topilganlarni

munosabatga qo`ysak

yoki

bo`ladi.Bu korrelyatsion jadvaldagi ma`lumotlar asosidagi Y ning X ga regressiya tehglamasidir

XIV.Tanlanma korrelyasiya koeffitsiyenti va uning xossalari

XIV.1. Korrelyatsiya koeffisiyenti. Korrelyatsion bog‘liqlikning zichligi

XIV.2. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti va uning xossalari

XIV.1. Korrelyatsiya koeffisiyenti. Korrelyatsion bog‘liqlikning zichligi

Tanlanma koorelyatsiya koeffisiyenti X va Y bosh to`plamlar orasidagi chiziqli bog`liqlik miqdorini xarakterlaydi. Tanlanma koorelyatsiya koeffisiyenti

(1)

formula yordamida aniqlanadi.

Bu yerda x_i, y_i ( ) lar mos holda X va Y bosh to`plamlardan olingan tanlanmalar variantalari, n<sub>xy</sub> – kuzatilgan (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub> ) variantalar juftlarining takrorlanishlari soni (chastotasi), n – tajribalar soni (), - mos holda X va Y bosh to`plamlardan olingan tanlanmalarning o`rtacha qiymatlari va - lar tanlanmalar o`rta kvadratik chetlanishlari.

Tanlanma koorelyatsiya koeffisiyenti quyidagi xossalarga ega:

1.Tanlanma koorelyatsiya koeffisiyentining moduli 1 dan oshmaydi, yani || £ 1 yoki -1 £ £ 1 ;.

2.Agar = 0 bo`lsa, u holda X va Y bosh to`plamlar orasida korrelyatsion bog`lanish yoq hisoblanadi; Tanlanma koorelyatsiya koeffisiyenti -ning qiymati qancha 0 ga yaqin bo`lsa, X va Y bosh to`plamlar orasida korrelyatsion bog`lanish shuncha sust bo`ladi.

3.Agar =1 bo`lsa, u holda X va Y bosh to`plamlar orasida funksional bog`lanish mavjud hisoblanadi.

Umuman, , X va Y miqdorlar orasidagi boglanish kuchini bildirib, bo`lsa, X va Y bosh to`plamlar orasida bog`lanish yetarlicha ehtimolli hisoblanadi.

Tanlanma koorelyatsiya koeffisiyenti X va Y bosh to`plamlar (sonli belgilar) orasida korrelyatsion bog`lanish darajasini bildiradi.

Ko`p masalalarni yechishda bosh to`plamlar orasidagi bog`lanish korrelyatsiya koeffisiyentining bahosidan (intervalli bahosidan0 foydalaniladi. Tanlanma hajmi katta () bo`lganda normal taqsimlangan bosh to`plam uchun

intervalli baho qaraladi.Bu yerda r bosh toplam korrelyatsiya koeffisiyenti.

Tanlanmalar hajmi kichik bo`lganda, tanlanma korrelyatsiya koeffisiyenti ushbu formula bilan hisoblanadi:

= .

218-masala. Cho`chqa bolasining og` Y (kg) va yoshi X (haftalarda) orasidagi bog`lanish quyidagi javalda keltirilgan. Shu ma`lumotlar asosida tanlanma koorelyatsiya koeffisiyentini hisoblang:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y	1,3	2,5	3,9	5,2	5,3	7,5	9,0	10,8	13,1

Yechish: Berilgan malumotlar bo`yicha



formulaga asosan ni topamiz. Bundan esa cho`chqa bolasining og`irligi Y (kg) va yoshi X (haftalarda) orasidagi bog`lanish kuchli ekan degan xulosaga kelamiz.

XIV.2. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti va uning xossalari

Kuzatuv natijalari umumiy bo‘lgan holda ham, regressiya funksiyasining (j(X)= aX+b) a va b parametrlarning baxolari oldingi bo`limdagi (3) formula orqali topiladi, faqat , boshqacharoq hisoblanadi.

Regression masalada X va U orasidagi bog‘lanish ko‘rinishini aniqlash masalasi qaraladi. Ba’zi bir masalalarda esa X va U orasidagi bog‘lanish kuchini aniqlashga to‘g‘ri keladi. Bu korrelyatsion masala deyiladi. Bu masalani yechish uchun matematik statistikada tanlanmadagi kuzatuv natijalariga asosan turli ko‘rsatgichlar hisoblanib, ularning qiymatlari bo‘yicha tegishli xulosalar chiqariladi. Bu ko‘rsatgichlarning eng soddasi tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti deb ataladi. U R_XU kabi belgilanadi va yuqoridagi belgilashlardan foydalanilgan holda

(4)

formula bilan hisoblanadi. Bu yerda berilgan U tasodifiy miqdorning tanlanma dispersiyasini ifodalaydi va

=

formula bilan hisoblanadi.

Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti quyidagi xossalarga ega bo‘lishini isbotlash mumkin:

1. 
   Har qanday X va U tasodifiy miqdorlar uchun -1£R_XU£1
   
2. 
   Agar X va U bog‘liqmas bo‘lsa, R_XU =0.
   

I z o x : R_XU =0 ekanligidan X va U bog‘liqmasligi kelib chiqmaydi.

3. 
   Agarda R_XU =±1 bo‘lsa, u xolda X va U tasodifiy miqdorlar U=AX+V chizikli funksional bog‘lanishga ega bo‘ladi.
   
4. 
   R_XU absolyut qiymati oshib borgan sari, X va U orasidagi bog‘lanish kuchi ham ortib boradi va ½ R_XU½=1 bo‘lganda eng kuchli, funksional bog‘lanishga o‘tadi.
   

Demak, R_XU korrelyatsiya koeffitsiyenti X va U belgilar o‘rtasidagi chizikli bog‘lanish kuchini ifodalaydi. Shu sababli R_XU =0 bo‘lganda faqat X va U o‘rtasida chiziqli bog‘lanish mavjud emas deb ayta olamiz va boshqa ko‘rinishdagi bog‘lanish mavjud bo‘lishi mumkin. ½ R_XU½ qiymati birga yaqinlashgan sari bog‘lanish kuchi shuncha katta (kuchli), nolga yaqinlashgan sari bog‘lanish kuchi shuncha kichik (kuchsiz) bo‘ladi.
Regressiya koeffisientlari lar va orqali

va

ko`rinishda aniqlanadi. Bulardan

bo`ladi. Ildiz oldidagi ishora regressiya ishoralari bilan bir xil qilib olinadi.

Y belgining X belgiga regressiya to`g`ri chizigi tenglamasi

bo`ladi.

Xuddi shuningdek, X belgining Y belgiga regressiya to`g`ri chizigi tenglamasi

bo`ladi.

220-masala. Quyidagi korrelyatsion jadvalda X va Y sonli belgilar ustida o`tkazilgan 79 tajriba natijalari berilgan. Tanlanma korrelyatsiya koeffisienti va regressiya tenglamalari topilsin:

Y X	0,5	0,6	0,7	0,8
0,5	0	2	0	8
0,6	0	4	2	9
0,7	2	12	3	1
0,8	21	14	0	0
0,9	1	0	0	0

Yechish: Tanlanma o`rtachalarni hisoblaymiz:

endi x² , y² va xy larning o`rta arifmetiklarini hisoblaymiz:

Tanlanma dispersiyalarni topamiz:

yoki