Mashg`ulot turi: Ma’ruza. Ajratilgan soat

2-misol. A = N natural sonlar to'plamidagi P(x; y) «x>y» ikki joyli predikat uchun chinlik jadvalini tuzaylik:

y x	1	2	3	4	5	6	1	8	…
1	e	e	e	e	e	e	e	e	…
2	r	e	e	e	e	e	e	e	…
3	r	r	e	e	e	e	e	e	…
4	r	r	r	e	e	e	e	e	…
5	r	r	r	r	e	e	e	e	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Jadvaldan ko'rinadiki, haqiqatan ham, qaralayotgan P(x; y) predikat N² = N x N to'plamni E to'plamga akslantiradi: P(x, y): N² E.

A to'plamda P(x) predikat berilgan bo'lsin. x ning P(x) predikat chin qiymat qabul qiluvchi qiymatlari to'plami A₁ ga P(x) predikatning chinlik to 'plami deyiladi.
Tushunarliki, a A_l uchun P(a) = r va b A₂ = A\A₁ uchun esa P(b} - e hamda
A = A₁ A₂, A₂ = C_AA₁ bo'ladi.
VI-savollar bayoni.
Aynan chin, aynan yolg'on va bajariluvchi predikatlar.
2-ta'rif. Tarkibiga kiruvchi obyektlarning A to'plamdagi barcha qiymatlarida chin bo'lgan predikat A to'plamdagi aynan chin predikat deyiladi.
Masalan, natural sonlar to'plami N dagi ikki joyli P(x; y) «x + y = y + x» predikat aynan chin predikat bo'ladi, chunki uning chinlik jadvali quyidagi ko'rinishda bo'lib,
P(x; y) predikat x va y ning N to'plamdagi barcha qiymatlarida chin qiymat qabul qiladi:

y x	1	2	3	4	5	…
1	r	r	r	r	r	…
2	r	r	r	r	r	…
3	r	r	r	r	r	…
…	…	…	…	…	…	…

3-Ta'rif. Obyektlarning A to 'plamdagi barcha qiymatlarida yolg'on qiymat qabul qiluvchi predikat aynan yolg'on predikat deb ataladi.
Masalan, natural sonlar to'plamidagi P(x, y) «x + y= y + x»; o'simliklar to'plamidagi
P(x) = «x — oziqlanmaydigan o'simlik»; ikkidan katta juft sonlar to'plami A = {4, 6, 8,
10, ..., 2n, ...} dagi P(x) «x - tub son» predikatlarning har biri aynan yolg'on predikatdir.
4-Ta'rif. Obyektlarning P to'plamdagi kamida bitta qiymatlari majmuasida chin qiymat qabul qiluvchi predikat bajariluvchi predikat deyiladi.
Misol uchun natural sonlar to'plamidagi P(x; y) «x + y = 5» predikat bajariluvchidir, chunki P(x; y) predikat (x; y) ning (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) qiymatlari majmuasida chin, qolgan qiymatlarida esa yolg'on.
Shuningdek, P(x) «x²-5x+6=0» predikat ham haqiqiy sonlar to'plami R dagi bajariluvchi predikatdir, chunki P(2) = r. P(3) = r bo'lib, x ning boshqa qiymatla­rida P(x) yolg'ondir.
VII-asosiy savollar bayoni.
Predikatlar ustida amallar. Predikatlar ustida ham mulohazalar algebrasidagi singari mantiqiy amallar bajarish mumkin. Biz bu yerda eng sodda bir joyli va bir xil rusumli (ya'ni bitta to'plamda aniqlangan va bir xil o'zgaruvchili) predikatlar ustida bajariladigan amallar bilan tanishib chiqamiz.
Inkor amali. A to'plamdagi P(x) predikat berilgan bo'lib, uning chinlik to'plami A₁, dan iborat bo'lsin. U holda P(x) predikat A₂ = C_AA₁, to'plamda yolg'on va A = A₁ A₂ bo'lar edi.
A to'plamdagix ning P(x) chin bo'lgan qiymatlarida yolg'on qiymat qabul qiluvchi va, aksincha, P(x) yolg'on bo'lgan qiymatlarida chin qiymat qabul qiluvchi | P(x) predikat A to'plamda berilgan P(x) predikatning inkori deb ataladi.
Masalan, N natural sonlar to'plamidagi P(x) «x - tub son» degan predikat berilgan bo'lsa, uning inkori |P(x) «x-tub son emas» degan predikat bo'lib, u P(x) chin bo'lgan N₁ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} to'plamda yolg'on va P(x) yolg'on bo'lgan N= {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...} to'plamda esa chin qiymat qabul qiladi.
Umuman, agar A to'plamdagi P(x) predikatning chinlik to'plami A_l dan iborat bo'lsa, u holda |P(x) ning chinlik to'plami A₂= C_AA₁ - A_l ni A gacha to'ldiruvchi to'plamdan iborat bo'ladi.
Endi bizga A to'plamda aniqlangan ikkita P(x) va Q(x) predikatlar berilgan bo'lib, P(x) ning chinlik to'pla­mi A A, Q(x) ning chinlik to'plami esa A₂ A bo'lsin.
VIII-asosiy savollar bayoni.
Konyunksiya amali.
5-Ta'rif. A to'plamdagi P(x) va Q(x) predikatlarning konyunksiyasi deb, x ning P(x) va Q(x) predikatlarning ikkalasi ham chin qiymat qabul qiluvchi qiymatlarida chin, qolgan barcha qiymatlarida esa yolg'on qiymat qabul qiluv­chi P(x) Q(x) predikatga aytiladi.
Ta'rifdan P(x) Q(x) predikatning chinlik to'plami A₁ B₁ A bo'lishi kelib chiqadi.
Masalan, butun sonlar to'plami Z= {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...} da berilgan P(x) = «x > 10» hamda Q(x) «x -musbat son» predikatlaming konyunksiyasi P(x) Q(x) «x > 10 va x -musbat son» degan predikat bo'ladi. P(x) ning chinlik to'plami A₁ = {11, 12, 13, ...}, Q(x) niki esa B₁ = {1, 2, 3, ..., n, ...} bo'lib, P(x) Q(x) ning chinlik to'plami A₁ B₁=A₁, dan iborat bo'ladi.
Dizyunksiya amali.
6- ta'rif. A to'plamdagi x ning P(x) va Q(x) predikatlarining birortasi chin bo'lgan qiymatlarida chin qiymat qabul qiluvchi P(x) Q(x) predikat P(x) va Q(x) predi­katlaming dizyunksiyasi deyiladi.
Demak. P(x) Q(x) predikat x A ning P(x) va Q(x) predikatlaming ikkalasi ham yolg'on qiymat qabul qilgandagina yolg'on bo'lar ekan.
Ta'rifdan P(x) Q(x) predikatning chinlik to'plami A₁ B₁ A bo'lishi kelib chiqadi.
Masalan, butun sonlar to'plami Z dagi P(x) «| x |< 5» va Q(x) «x - musbat juft son» degan predikatlarni qaraylik. Bu yerda A_l = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, B₁ = {2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...}.
U holda P(x) Q(x) «x ning moduli 5 dan kichik yoki x -musbat juft son» bo'lib, uning chinlik to'plami A₁ B₁ = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, ..., 2n, ... } bo'ladi.