Matematik modellashtirish jarayonining asosiy bosqichlari

Adekvatlikka tekshirish. Modelni tizim bilan adekvatligini tekshirish deganda uni tadqiq qilinayotgan tizim bilan o'lchamlarini mosligi hamda chiqish qiymatlarini tengligini tahlil qilish tushuniladi. Lekin shu narsani yoddan chiqarmaslik lozimki, model tizimni o'ziga bir qiymatli akslantirib olmaydi, aks holda modelni yaratishning ma'nosi qolmaydi. Adekvatlik tashqi shartlarni va tizimni ishlash rejimlarini ideallashtrish natijasida buziladi, bularga quyidagilarni misol qilish mumkin: u yoki bu parametrlarni chiqarib tashlashlik; ba'zi bir tasodifiy omillarni e'tiborga olmaslik. Tashqi ta'sirlar hamda tizim tuzilmasidagi ma'lum bir nyuanslar haqida aniq ma'lumotlar yo'qligi va shu bilan birga, amalga oshirilayotgan approksimatsiyalar, interpolyatsiyalar, taxminlar va gipotezalar ham model bilan tizim orasidagi moslikni pasayishiga olib keladi. 
Runge–Kutta usuli — oddiy differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari Carl Runge va Wilhelm Kutta tomonidan taklif qilingan.
Runge–Kutta usullari toʻplamiga Eulerning oshkor usuli va Eulerning modifikatsiyalangan usullari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar (Maple, MathCAD, Maxima) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge–Kutta usuli qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi.
Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻadi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas.
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge–Kutta usuli juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge–Kutta usuli deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi.
Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi ni koʻrib chiqamiz.
U holda ushbu tenglamaning yaqinlashgan (taxminiy) yechimi quyidagi iteratsion formula yordamida hisoblanadi:
{\displaystyle {\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+{h \over 6}({\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2}+2{\textbf {k}}_{3}+{\textbf {k}}_{4})}Xabarni uzatish interfeysi (MPI) standartlashtirilgan va ko'chma xabarlarni uzatish akademiya va sanoat tadqiqotchilari guruhi tomonidan ishlab chiqilgan standart turli xil yo'nalishlarda ishlaydi parallel hisoblash me'morchilik. Standart quyidagilarni belgilaydi sintaksis va semantik yadrosi kutubxona tartiblari yozadigan foydalanuvchilarning keng doirasi uchun foydalidir ko'chma xabarlarni uzatish dasturlari C, C ++ va Fortran. Bir nechta yaxshi sinovdan o'tgan va samarali amalga oshirish MPI, ularning ko'plari ochiq manbali yoki ichida jamoat mulki. Bular parallel rivojlanishni kuchaytirdi dasturiy ta'minot sanoati va ko'chma va ölçeklenebilir keng ko'lamli parallel dasturlarni rivojlantirishni rag'batlantirdi.
Birinchi va eng sodda tasniflardan biri - Flynn tasniflashini ko'rib chiqing, bu ma'lumotlar kompyuterda qanday ishlashga asoslangan. Ushbu tasnifga ko'ra, barcha kompyuterlar (komp'yuter komplekslari) to'rtta sinfga bo'linadi - arxitekturali kompyuterlar: SISD (Single Instruction stream - yagona ma'lumotlar oqimi) - bitta ma'lumot oqimi - bitta ma'lumot oqimidir. Bu sinf, programma buyruqlar ketma-ket bajarilganda, keyingi ma'lumotlar elementini qayta ishlashda von Neumann arxitekturasiga ega oddiy "ketma-ket" kompyuterlarni o'z ichiga oladi SIMD (bitta yo'riqnoma oqimi - bir nechta ma'lumotlar oqimi) - bitta buyruq xartasi - bir nechta ma'lumotlar oqimi.
Vektorli va matritsali protsessorlarga ega kompyuterlar ushbu turga tegishli: MISD (bir nechta yo'riqnoma oqimi - yagona ma'lumotlar oqimi) - bir nechta buyruqlar oqimi - bitta ma'lumot oqimi. Ushbu turdagi ma'lumotlarni o'tkazishning konveyer turiga ega kompyuterlar bo'lishi mumkin. Biroq, ko'pchilik bunday kompyuterlarning birinchi turiga havola etilishiga va MISD klassi kompyuterlari hali yaratilmaganligiga ishonishadi.
Ko'p yo'riqnomalar oqimi (ko'p ma'lumotli oqim) - bir nechta buyruqlar oqimi - ko'p ma'lumotli oqimlar. MIMD klassi juda keng va bugungi kunda juda ko'p turli xil me'morchilikning ko'plab kompyuterlari unga kiradi. Shuning uchun, MIMD klassiga tegishli bo'lgan kompyuterlarni aniqroq tasniflash imkonini beradigan boshqa tasniflashlar taklif etiladi.
Massivli-parallel kompyuterlar paydo bo’lishi bilan parallel jarayonlarni aloqasini qo’lab-quvvatlovchi kutubxona interfeyslar keng tarqaldi. Bu yo’nalishning toifali vakiliga Message Passing Interface (MPI) interfeysi misol bo’ladi. Bu interfeys amalda vektor-konveyerli super - EXM dan tortib shaxsiy kompyutergacha bo’lgan barcha parallel platformalarda mavjud. Dasturning qaysi parallel jarayonlari dasturning qaysi qismida va jarayonlar bilan ma’lumotlar almashishi yoki o’z ishini sinxronlab borishi kerakligini dasturchining o’zi belgilaydi. Odatda parallel jarayonlarning manzil soxasi turlicha bo’ladi. Xususan, bu g’oyaga MPI va PVI da amal qilinadi. Boshqa texnologiyalarda, masalan Shmem da lokal (private) va umumiy (shared) o’zgaruvchilari qo’llaniladi. Bu o’zgaruvchilarga dasturning barcha jarayonlari murojat etishi mumkin va Put/Get toifasidagi operatsiyalar yordamida umumiy xotira bilan ishlash usuli tashkil etiladi. Linda sistemasi o’ziga xos xususiyatga ega bo’lib, unda ixtiyoriy ketma-ketlikda tilga to’rtta: in, out, read va eval funktsiyalarini qo’shadi va parallel dasturlar tuzish imkonini beradi. Afsuski, ushbu keltirilgan g’oya oddiy bo’lishiga qaramasdan, uni amalda qo’llash muammolar tug’diradi. Xabarlarni almashish interfeys texnologiyasi
Taqsimlangan xotira parallel kompyuterlardagi keng tarqalgan dasturlash texnologiyasi MPI texnologiyasi xisoblanadi. Bunday sistemalardagi parallel jarayonlarning o’zaro muloqat usuli bir-biri bilan xabarlar almashishdan iborat. Bu usul texnologiyasi nomi - Message Passing Interface (xabarlar almashish interfeysi) deb aks ettirilgan. MPI standartida sistema amal qilishi va dastur yaratishda foydalanuvchilar amal qilishi kerak bo’lgan qoidalar mavjud. MPI Fortran va Si bilan ishlashni qo’llab-quvvatlaydi. Interfeysning to’liq versiyasida 125 tadan ko’proq protsedura va funktsiyalar mavjud. MPI MIMD(Multiple Instruction Multiple Data) stilidagi parallel dasturlarni qo’llab quvvatlaydi. Unda turli matnlar bilan berilgan jarayonlar birlashtiriladi. Biroq bunday dasturlarni tuzish va otladka etish murakkab. Shuning uchun amalda dasturchilar SPMD (SINGLE PROGRAM MULTIPLE DATA) parallel dasturlash modelidan foydalanishadi. Unda parallel jarayonlar uchun bitta dastur kodi qo’llaniladi.
Tenglamani yechishning taqribiy (iteratsion) usullari va iteratsion jarayon tushunchalari. Tenglamani yechish uchun qo‘llaniladigan taqribiy (iteratsion) usullar quyidagilar: kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli (dixotomiya usuli); proporsional bo‘laklar usuli (vatarlar usuli); urinmalar usuli (Nyuton usuli); oddiy iteratsiya usuli; kesuvchi chiziqlar usuli; kombinatsiyali usul (bir necha usulning uyg‘un birikmasidan tuzilgan usul); kesimlar usuli (chiziqli interpolyatsiya qoidasi); Steffensen usuli (Eytken-Steffensen usuli) va boshqa.
20-билет

Matematik modellarni qurishning variasion prinsiplari. Matematik modellashtirishning intellektual yadrosi. Biologik populyasiya modellari. Differensial tenglamalar tizimini yechishning sonli usullari. Splayn- approksimasiyalash, interpolyasiya, chekli elementlar usuli. Mexanika va gidrodinamikadagi elementar matematik modellar. Hisoblash eksperimentining tamoyillari. Model, algoritm, dastur.

Funksionalning maksimal yoki minimal qiymatini topish masalasi variatsion masala deyiladi.
Fizika va mexanikaning ko’pgina qonunlari tasdiqlaydiki, o’rganilayotgan jarayonda biror funksional maksimum yoki minimumga erishishi lozim. Bunday hollarda bu qonunlar mexanika yoki fizikaning variatsion prinsiplari deb nomlanadi. SHunday 2 variatsion prinsiplar qatoriga quyidagilar kiradi: eng kichik ta’sir prinsipi, energiyaning saqlanish qonuni, impulsning saqlanish qonuni, harakat miqdorining saqlanish qonuni, klassik va relyativistik maydon nazariyasining turli variatsion prinsiplari, optikadagi Ferma prinsipi va hokazo.
Interpolyatsion kubik splaynlar interpolyatsiyalanayotgan ob’ektga yaxshi yaqinlashadi va qurilish sodda ko’rinishda bo’ladi. Qurilayotgan splayn darajasi tugun nuqtalarga bog’liq emas. Qurilayotgan splayn funksiya [a,b] oraliqda emas, balki [xi,xi+1] (i=0, n-1) oraliqlarda quriladi va bu splayn funksiya har bir oraliqlarda bir xil strukturali ko’phadlardan iborat bo’ladi.
Klassik interpolyatsiyalashda esa butun bir [a,b] oraliqda 1 ta funksiya qurilar edi. Shuning uchun ham klassik interpolyatsiyalashga nisbatan splayn funksiyalar yordamida qaralgan interpolyatsiyalash masalasining silliqlik darajasi yuqori va qurilishi jihatidan ham sodda bo’ladi. (i=0, n-1) [xi,xi+1] oraliqlarda qurilgan silliq bo’lakli kophadli funksiyalarga splayn funksiyalar deyiladi.
Shuning uchun interpolyatsiyalash masalasida splayn funksiyalarni qo’llanilishi hisoblash matematikas fanida dolzarb basalalar hisoblanadi. Splayn funksiyalar kvadratur yordamida qurilgan kvadratur formulalaning xatoligininng bahosi ham klassik interpolyatsion kvadratur formulalarning xatoligining baholaridan ancha kichik bo’ladi.
Hisoblash eksperimentining asosini matematik modellashtirish, amaliy matematika (nazariy asosi), elektron hisoblash mashinalari (texnikaviy asosi) tashkil etadi.
Hisoblash eksperimentidan fan va texnikaning turli sohalarida, murakkab amaliy masalalarni yechishda vosita sifatida foydalaniladi. Foydalanib hal etiladigan masalalarning xilma-xil bo‘lishligiga qaramasdan hisoblash ekspe-rimentlari, shartli ravishda quyidagi bosqichlarga bo‘lingan. Ular umumiy texnologik turkumga xosdir.
Masalani yechish bosqichlari: Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish usullari ikki turga bo‘linadi: to‘g‘ri (yoki analitik) va taqribiy (iteratsion) usullar. Analitik usulda tenglamaning barcha yechimlari chekli sondagi operatsiyalarda (yoki formulalar) orqali aniqlanadi. Masalan, shu usulga ushbu ах2 + bх + с = 0 – kvadrat tenglamaning yechimlarini topishni misol qilib keltirish mumkin. Bu tenglamaning yechimlari quyidagicha: Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish bir necha bosqichga bo‘linadi: ildizlarning mavjudligini, sonini, xarakterini va ularning joylashishini tekshirish; ildizlarni ajratish; ildizlarning taqribiy qiymatlarini topish, ya’ni tenglamaning yagona ildizi mavjud bo‘lgan yetarlicha kichik [a,b] kesmani aniqlash (dastlabki yaqinlashuvchi ildiz); ildizlarning barchasini yoki ularning bir qismini talab qilingan aniqlikda topish. Dastlabki uchta bosqichda analitik yoki grafik usuldan (ba’zida tadqiqot obyekti yoki hodisaning fizik ma’nosidan) foydalanish mumkin. Bunda quyidagi holatlar kuzatiladi: ildiz yagona; cheksiz ko‘p yechimlar; ildiz yo‘q; bir nechta yechimlar mavjud bo‘lib, ulardan ba’zilari haqiqiy, ba’zilari esa mavhum; ildizlar karrali; ildizlar bir biriga juda yaqin va dastlabki yaqinlashishni topish murakkab. Oxirgi bosqichda esa biror taqribiy (iteratsion) usuldan foydalaniladi, bunda dastlabki tenglamaning ildizini topish juda murakkab bo‘lgan holda bu tenglama uning ildiziga teng yoki unga juda ham yaqin joylashgan ildizli sodda tenglamaga 50 ham almashtirilishi (masalan, transendent tenglamani algebraik tenglamaga almashtirish) mumkin.
18-билет

Tarmoqlarning asosiy xarakteristikalari. Tarmoq standartlari va spesifikasiyasi. Interfeyslar, protokollar, protokollar steklari, inkapsulyasiya. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullarining turg‘unligi. Ekstremal masalalarni yechishning sonli usullari. Obyektga yo‘naltirnlgan dasturlash. Qism dasturlar kutubxonalari. Qism dasturlar bilan ishlash. Sinflar kutubxonalari.

Tarmoqdagi kompyuterlarda saqlanayotgan axborot ashyolariga ushbu tarmoqqa ulangan boshqa kompyuterlar yordamida kirish mumkin. Kompyuterlarni tarmoqqa ulash usullari ko'rsatilgan.
Kompyuterlar soniga qarab, tarmoqlar lokal, mintaqaviy va global tarmoqlarga bo'linadi.
Lokal tarmoqlar bir binoda yoki bir-biriga yaqin binolarda joylashgan kompyuterlarda o'zaro axborot almashish imkonini beruvchi tarmoq hisoblanadi.
Bunday tarmoqlarda axborot almashinish aloqa kabellari (ba'zan telefon tizimi yoki radiokanal) orqali amalga oshiriladi. Bunda foydalanuvchilar tarmoqqa ulangan kompyuterlardagi ma'lumotlarni birgalikda qayta ishlash va ma'lumotlarni ayirboshlash va dastur, chop etish qurilmasi, modem va boshqa qurilmalardan birgalikda Ibydalanish imkoniyatiga ega bo'lishadi.
Shuning uchun, bittadan ko'p kompyuterga ega bo'lgan firmalar o'z kompyuterlarini lokal tarmoqqa birlashtiradi.
Lokal tarmoqda kompyuterlar orasidagi masofa yaqin bo'lganligi bois, telefon kanallaridan foydalanmasdan axborotni uzatish tezligini oshirish mumkin.
Lokal tarmoqda axborotni uzatish uchun axborotni marshrutlash va seleksiyalash lozim bo'ladi.
Marshrutlash bu — kerakli manzilga axborot blokini uzatish yo'lini aniqlash jarayonidir.
Seleksiyalash — tegishli manziJdagi axborotni saralash demakdir.
Lokal tarmoqlar axborotni marshrutlash va seleksiyalash usuli bo'yicha ikki sinfga ajratiladi.
Lokal tarmoqlar seleksiyalash orqali axborotni bir abonent tizimidan boshqa tizimga uzatishni ta'minlaydi.
Ishchi tizimlar katta miqdordagi ma'lumotni saqlash, izlash, murakkab hisoblashlar, modellashtirish, dasturiy ta'minotni rivojlantirishga xizmat qiladi.
Ma'muriyat tizimlari tarmoqni boshqaradi. Kommunikatsion tizimlar abonent tizimlar orasida axborotlarni uzatish uchun marshrutlash va bog'lanishlarni kommutatsiya qilish vazifasini bajaradi.
Mintaqaviy tarmoq— biror tuman, viloyat yoki respublika miqyosidagi kompyuterlarni o'zida mujassamlashtirgan tarmoq.
Bunday tarmoda bir nechta markazlashgan (ya'ni lokal tarmoqlarni birlashtiruvchi) juda quwatli serverlar mavjud bo'ladi va bunday serverlar o'rtasidagi axborot aloqa kabeli, optik tolali yoki sun'iy yo'ldosh radioaloqa kanallari yordamida uzatiladi.
Global tarmoq— dunyoning ixtiyoriy davlatidagi kompyuter­larni o'zida birlashtirish imkoniga ega bo'lgan tarmoq. Bu tarmoq internet (Internet) deb ham yuritiladi.
Internet bilan birga «intranet» tushunchasi ham ishlatiladi.
9-билет

Hisoblash eksperiment natijalarini interpretasiya qilish. Hisoblash ekspernmentlarini rejalashtirishning asosiy nazariyasi. Noravshan matematik dasturlash masalalari. Dinamik tizimlar matematik modelning evolyusnyasi (rivojlangan kurinishi) sifatida. Tenglamalarni o‘lchamsiz ko‘rinishga keltirish. O‘lchovlarni taxlil qilish. Teskari masalannng qo‘yilishi. Adamar bo‘yicha korrektlik tushunchasi. Shartli-korrekt masalalar. Tixonov bo‘yicha korrektlik. Lavrentyev regulyarizasiya algoritmi.