Mavzu: Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar. Chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi). Reja

5.1.3. Teorema. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirishni tashkil etsin. U holda quyidagi xossalarga ega bo’lamiz:

1) .

2) uchun .

3) lar uchun .

4) va lar uchun

5) agar B Aga qism fazo bo’lsa, uning obrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, V ga qism fazo bo’ladi.

6) Agar U Vga qism fazo bo’lsa, uning proobrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, A ga qism fazo bo’ladi.

7) Agar M A da qism to’plam tashkil etsa, u holda

Isbot.

1. Har bir uchun o’rinli. Shunga ko’ra

   
   

V da qo’shma qarama–qarshilikka ega. Yuqoridagi qonuniyatga asosan:

ga ega bo’lamiz.

2. , demak
   

bundan ga o’zaro teskaridir.

3. 
   

4. n uchun induksiyadan foydalanamiz. n=2 uchun

   
   

.
Faraz qilaylik,

isbotlangan.

Bundan,
ni hosil qilishimiz mumkin.

5. va bo’lsin, 4.1.7 teoremaga asosan , bundan

   
   

va

Shunday qilib, 4.1.7 teoremaga ko’ra V ga qism fazo bo’ladi.

6. , va bo’lsin. va ga ko’ra U Vga qism fazo bo’ladi.

   
   

4.1.7 teoremaga asosan A ga qism fazo bo’ladi.

7) bo’lsin. 4.2.3 teoremaga ko’ra haqiqiy elementlar uchun ko’rinishda bo’ladi. .
Bundan ko’rinadiki,

.

Mantiqan bo’lsin. Argumentlariga murojat qiladigan bo’lsak,

ni isbotlashga erishamiz.

Qism fazo f–chiziqli akslantirishda yadro deb ataladi.

5.1.4 Teorema. (monomorfizm teoremasi) . Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirishni tashkil etsin. va f monomorfizm. Shuningdek, f monomorfizm bo’lsa, bo’ladi.

Isbot. Haqiqatdan ham, agar f monomorfizm bo’lsa, dan ekanligi kelib chiqadi. x A da nol bo’lmagan element, demak, .

Aytaylik, va bo’lsin, bundan ekanligi ma’lum bo’ladi va , . Bundan kelib chiqadiki . Bu isbotdan f inyektiv va monomorfizmdir. Nihoyat, f monomorfizm bo’lsa, bo’ladi.

5.1.5.Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va monomorfizm bo’lsin. Agar M A da chiziqli erkli qism to’plam bo’lsa, V da chiziqli erkli qism to’lam tashkil etadi.

Isbot. Aytaylik, ga finit qism to’plam bo’lsin. R M dagi qism to’plam uchun bo’ladi. ni chiziqli erkli ekanini ko’ramiz, va ekanligidan kelib chiqadi. 5.1.3. teoremaga ko’ra

,

5.1.4 teoremaga ko’ra bo’ladi, bundan kelib chiqadi. 4.2.7 teoremaga ko’ra R chiziqli erkli qism to’plam va shuning uchun bo’ladi. 4.2.7 teoremadan foydalanib S ni chiziqli erkli ekanligini va ni ham chiziqli erkli ekanini ko’ramiz.

5.1.6. Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va monomorfizm bo’lsin. U holda A, V ni finit o’lchamlaridan kelib chiqadi.

Isbot. Aytaylik X A da finit bazis tashlikil etsin. 5.1.5 natijaga ko’ra V da chiziqli erkli qism to’plam tashkil etadi. 5.1.3 teoremaga asosan, uchun yasovchi, demak, uchun bazis tashkil etadi. 4.2.20 teoremadan, va f inyektiv,