Mavzu: Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar. Chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi). Reja

Chiziqli akslantirishning matritsalari.
5.1§ da vektor vazolarda chiziqli akslantirishlarni o’rgandik. Ushbu paragraf 5.1 paragrafni davomi sifatida finit–o’lchamli vektor fazolarni o’z ichiga oladi. Bunda matritsa usullaridan foydalaniladi, bu esa isbotlashlarda amaliy foyda beradi.

Aytaylik, A, V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va akslantirish chiziqli akslantirish bo’lsin. A ning bazisi va esa V ning bazisi bo’lsin. 5.1.12 teoremada isbotlangan f chiziqli akslantirish bazis elementlari bo’lgan lar bilan bir xil aniqlanadi. 4.2.16 teoremadan, V ning har bir elementi uning koordinatalari bazisga o’zaro bog’liqligidan yagona isbotlangan. Bularning barchasi uchun aloxida ahamiyat kasb etadi, demak quyidagiga egamiz:

5.2.1. Ta’rif. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar, va lar A hamda V larning bazislari bo’lsin. akslantirish chiziqli akslantirish bo’lsin va faraz qilaylik ga teng bo’lsin.

matrissa va bazislarga o’zaro bog’liq bo’lgan f chiziqli akslantirishning matritsasi deb ataladi.

5.2.2. Teorema. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar, va lar A hamda V larning bazislari bo’lsin. va lar va ning larga mos matritsalari bo’lsin. U holda

(1) ning dagi matritsasi bo’ladi.

(2) Agar , u holda akslantirishning bazisdagi matritsasi bo’ladi.

Isbot.

1. Barcha lar va uchun quyidagi tenglik mavjud:

   
   

Bundan kelib chiqadiki chiziqli akslantirishning bazislardagi matritsasi.

2. Barcha lar va uchun quyidagi tenglik mavjud:

   
   

.

Bundan kelib chiqadiki chiziqli akslantirishning bazislardagi matritsasi.

5.2.3. Natija. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va ga teng bo’lsin. vektor fazo ga izomorfikdir.

Isbot. va bazislar va ga tegishli bo’lsin. akslantirishni topamiz. Har bir uchun , ning bazislardagi matritsasi. 5.2.2. teorema yuqoridagi akslantirishni chiziqli ekanini ko’rsatadi.

Aytaylik va da aniqlangan elementlar bo’lsin. 5.1.12 teoremaga ko’ra, akslantirish yagona chiziqli akslantirish shuning uchun ga teng bo’ladi. ning bazislardagi matritsasi. Yuqoridagilardan akslantirish suryektiv bo’ladi.

Nihoyat, chiziqli akslantirishlar va mos xolda lar va ning bazislarga mos matritsalari bo’lsin. Farazimizdan uchun bo’ladi. U holda

.

ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremaga ko’ra, , bo’ladi. U holda

,

bu esa ni keltirib chiqaradi. Shundan, akslantirish inyektiv va shuning uchun akslantirish izomorfizmdir.