Mavzu: Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar. Chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi). Reja

5.2.4. Natija. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar bo’lsin. vektor fazo chekli o’lchamli va

.

Isbot. va bo’lsin. 5.2.3 natijadan izomorfizm ga va 5.1.9 natijadan ga egamiz. ga teng demak

.

va lar mos xolda va dagi bazislar bo’lsin. ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremadan, uchun va tengliklar mavjud. Va

.

4.2.16 teoremadan tenglik mavjud va quyidagi matritsa tenglamasiga kelamiz

.

5.2.5. Teorema. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va va bazislar mos xolda va ga tegishli bo’lsin. farazdan va mos xolda ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. U holda .

Isbot. orqali tashkil topgani uchun, orqali tashkil topgan bo’ladi. kanonik izomorfizm bo’lsin. 5.1.9 natijadan, . Bizda tenglik mavjud, bundan

.

Bundan kelib chiqadiki matritsaning barcha ustunlari orqali ifodalanadi. Shunday qilib, kelib chiqadi.

5.2.6. Teorema. Aytaylik, A ,V va F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va , va bazislar mos xolda , va ga tegishli bo’lsin. Farazimizdan akslantirishlar chiziqli akslantirishlardir. chiziqli akslantirishning bazislarga mos matritsasi va ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. U holda akslantirishning bazislarga mos matritsasi bo’ladi.

Isbot. ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. U holda quyidagiga ega bo’lamiz:

. (5.1)
Boshqa tomondan,

4.2.16 teoremadan, ning ajralishi 5.1 tenglamada yagonaligini ko’rsatadi,

, va

Bundan kelib chiqadiki .

5.2.7. Teorema. Aytaylik, A ,V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar bo’lsin. ning bazislari , va ning bazislari , bo’lsin. Farazimizdan chiziqli akslantirish. chiziqli akslantirishning bazislarga mos matritsasi va ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. mos xolda dan gacha va dan gacha o’zgaruvchi(transition) matritsalar bo’lsin. U holda bo’ladi.

Isbot. Bizda, uchun va lar mavjud. Bir tomondan,
Boshqa tomondan,

4.2.16 teoremadan, elementning ko’rinishi bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi kabi yagona; demak

(5.2)

va bo’lsin.
U holda, matritsalarning ko’paytirish ta’rifidan quyidagiga ega bo’lamiz

va .

5.2 tenglamadan quyidagiga ega bo’lamiz , bundan tenglikni tushunamiz. 4.2.19 natijadan, matritsa singulyar emas, mavjud va orqali oxirgi tenglamaning xar ikki ko’paytmasidan, ga ega bo’lamiz.
Biz endi chiziqli akslantirishlarning muxim maxsus qismini ko’rib chiqamiz, ya’ni chiziqli almashtirishlar(transformations)ni.

Aytaylik, A F maydon ustidagi vektor fazo va ning chiziqli almashtirishi bo’lsin. ni chekli o’lchamli desak va ning bazisi bo’lsin. ning xar bir elementini bazisning asosiy nuqtalari bilan yozamiz, shuningdek

5.2.8. Ta’rif. Aytaylik, A F maydon ustidagi vektor fazo va ning bazisi bo’lsin. ning chiziqli almashtirishi va .

Matritsa ning bazisdagi matritsasi deb ataladi.