Mavzu: Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar. Chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi). Reja

5.2.9. Teorema. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ning bazisi bo’lsin. va lar va ning bazisdagi matritsalari bo’lsin. U holda

(1) ning dagi matritsasi bo’ladi.

(2) ning dagi matritsasi bo’ladi.

(3) Agar , u holda ning bazisdagi matritsasi bo’ladi.
Bu teorema 5.2.2 va 5.2.6 Teoremalardan kelib chiqdi.


5.2.10. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va bo’lsin. izomorfizm bundan kelib chiqadi.

Isbot. ning bazisi bo’lsin. chiziqli almashtirish, akslantirishni orqali topamiz va ning dagi matritsasi bo’ladi. 5.2.9 teorema ushbu akslantirishni respects multiplication va skalyar ko’paytma ekanligini ko’rsatadi. 5.2.3 natijaning xulosasidan ning biektivligini ko’rishimiz mumkin.

5.2.11. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo bo’lsin. U holda chekli o’lchamli va bo’ladi.

5.2.12. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ning bazislari , bo’lsin. Farazimizdan ning chiziqli almashtirishi bo’lsin va mos xolda lar ning bazislarga mos matritsalari bo’lsin. dan gacha bo’lgan o’zgaruvchi matritsasi bo’lsin. U holda ga teng bo’ladi.

5.2.13. A F maydon ustidagi vektor fazo bo’lsin. ning izomorfizmi ning o’ziga avtomorfizm deyiladi.

Shunday qilib, ning avtomorfizmi ning biektiv chiziqli almashtirishi bo’ladi.

5.2.14. Teorema. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ningchiziqli almashtirishi bo’lsin. Quyidagilar ekvivalentdir:

(1) –monomorfizm.

(2) –avtomorfizm.

(3) –epimorfizm.

Isbot. farazimizdan birinchi – monomorfizm. 5.1.11 natijadan, . 5.1.4 teoremada nazarda tutilganidek , bundan bo’ladi. 4.2.20 teorema quyidagini ko’rsatadi, . Navbatdagi akslantirish suektiv, demak biektiv va ning avtomorfizmi.

implikatsiya aniq va ravshan.

. 5.1.11 natijaga takroran murojat qilamiz va kelib chiqadi. , , bundan va . 5.1.4. teorema ni monomorfizm ekanligini ko’rsatadi.