Mavzu: Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar. Chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi). Reja

5.2.15. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ning chiziqli almashtirishi bo’lsin. U holda, ning avtomorfizmi bo’ladi faqat va faqat bo’lgandagina.
Чизиқли операторларнинг ядроси ва тасвири. Чизиқли оператор матрицаси.
Айтайли Х ва Й лар Р сонлар майдони устидаги вектор фазолар бщлсин.


Т А O Р И Ф : ф : Х  Й акслантириш

а) лар учун

шартларни ыаноатлантирса ф ни чизиыли акслантириш (гомоморфизм) дейилади
Агар ф - биектив акслантириш блса, ф чизиыли акслантириш изоморфизм хам дейилади.
ф : Х  Й чизиыли акслантиришлар тщпламини Л (Х,Й) каби белгилаймиз. Агар Х=Й бщлса чизиыли акслантиришни чизиыли оператор дейилади.
Барча чизиыли операторлар тщпламини Л(Х,Х) = Л (Х) каби белгилаймиз.


ТЕОРЕМА: ф : Х  Й - чизиыли акслантириш бщлса,

лар учун тенглик щринли бщлади.

ТЕОРЕМА . Айтайлик Х ва Й лар Р сонлар майдони устидаги вектор фазолар, фазонинг базиси ва нинг ихтиёрий векторлари бщлсин. У ъолда шартни ыаноатлантирувчи ягона ф: Х  Й чизиыли оператор мавжуд.

НАТИЖА. Айтайлик Х ва Й лар Р сонлар майдони устидаги вектор фазолар, фазонинг базиси , ф,  Л(Х,Й) бщлсин, у ъолда бщлса,  = ф бщлади.

НАТИЖА. Айтайлик фазонинг базиси ,

Х нинг ихтиёрий векторлари бщлсин, у холда (1) шартни ыаноатлантирувчи ягона ф  Л (Х) чизиыли оператор мавжуд.

Атайлик ф  Л (Х) чизиыли оператор бщлсин

кисм тщплам Х ни ыисм фазоси бщлади. Ъаыиыатан ъам

. Демак Кeрф фазо Х ни ыисм фазоси.

ТАOРИФ Х фазонинг ыисм фазоси Кeр ф чизиыли операторнинг ядроси, бу ыисм фазо щлчовчи ф чизиыли операторни дефекти дейилади. ф чизиыли оператор эканлигидан Х ни ыисм тщплами унинг ыисм фазоси бщлади. Бу ыисм фазо ф чизиыли операторни образи (акси), бу ыисм фазони щлчови эса ф операторни ранги дейилади.

ТЕОРЕМА Айтайлик ф  Л (х) Х чекли щлчовли фазодаги чизиыли оператор бщлса, ф чизиыли операторни ранги ва дефектлари йиьиндиси Х чекли щлчовли фазони щлчови дим Х га тенг бщлади.
Айтайлик ф,  Л(Х,Й), у ъолда уларни йиьиндисини

(ф+) (х) = ф (х) +  (х) тенглик орыали аниылайлик, ъудди шунингдек,   Р сонга кщпайтиришни амалини ( ф) (х) =  ф (х) тенглик билан аниылайлик.

ТЕОРЕМА Агар ф,   Л(Х,Й) бщлса, ф+  Л(Х,Й)  ф  Л(Х,Й) бщлади.

Айтайлик Х чекли щлчовли фазо унинг базиси,

ф  Л(Х) чизиыли оператор бщлсин. эканлигидан, уларни ъар бирини (е) базис векторлари орыали чизиыли ифодалаш мумкин, яoни