Mavzu: Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar. Chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi). Reja

5.1.7 Teorema. (Epimorfizm teoremasi) Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va epimorfizm bo’lsin. U holda V fazo faktor fazoga izomorf bo’ladi.
Isbot. qilinmadi.\\


5.1.8 Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va epimorfizm bo’lsin. Agar A finit o’lchamga ega bo’lsa, u holda V finit o’lchamli va bo’ladi.

Isbot. X A da bazis tashkil qilsin. 5.1.3. teoremadan V uchun yasovchi. 4.2.13 xulosadan V fazo bazisni o’z ichiga oladi, bundan . Bulardan ekanligi kelib chiqadi, natija isbotlandi.

5.1.9. Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va izomorfizm bo’lsin. Agar A finit o’lchamga ega va X A da bazis bo’lsin. Hamda V da bazis tashkil etsin va bo’lsin.

Isbot. 5.1.3 teoremadan V uchun yasovchi va 5.1.5 na tijadan V da chiziqli erkli qism to’plam bo’lsin. Bundan V fazoda bazis tashkil etadi. Demak,

5.1.10. Teorema. (1– izomorfizm teoremasi) Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirish bo’lsin. Hamda bo’ladi.

Isbot. Xaqiqatdan,\\\\\\\va 5.1.7 teoremadan ko’rinishdagi xulosaga kelamiz. Natija: 5.1.3 teoremadan, V ga qism fazo bo’ladi.

5.1.11. Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar va chiziqli akslantirish bo’lsin. Agar finit bo’lsa, u holda bo’ladi.

Isbot. 5.1.1. teoremadan, , 5.1.9 natijadan ni ko’ramiz va 4.4.4 teoremadan . Shunday qilib, ga teng bo’ladi.

5.1.12. Teorema. A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin. Faraz qilaylik finit va A da bazis tashkil qilsin. Agar lar V fazoda ixtiyoriy element bo’lsa, bitta va faqat bitta akslantirish mavjud. Shuning uchun bo’ladi.

Isbot. Aytaylik, x A ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremadan, .

akslantirish orqali ta’riflanadi. Agar va bo’lsa .

4.2.16 teoremadan bu akslantirish yagona va
Shuningdek, bo’lsa,
bo’ladi.

Sunday qilib quyidagi ifoda kelib chiqadi:

.

Ko’rinib turibdiki f akslantirish chiziqli. Shuningdek xossaga ko’ra akslantirish chiziqli akslantirish. uchun va

ifodaga ega bo’lamiz.

Shunday qilib ifoda hosil bo’ladi.