Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda innovatsion texnalogiyalar reja

1.2.Chiziqli tenglamalar sistemalarining innovatsion texnalogiyalar usulida yechish natijalari.

Istalgan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi doimo 0 yechimga ega. Endi qanday hollarda bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi 0 emas ( yoki 0 dan farqli) yechimga ega bo’lishini ko’ramiz:

TEOREMA n ta noma’lumli m ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemas m bo’lganda nolmas yechimga ega bo’ladi.
Isboti Koeffitsientlari biror ℛ sonlar maydoniga tegishli bo’lgan

Sistema berilgan bo’lsin

1. 
   Sistemani ikki vektorning tenglik shartidan foydalanib,
   

=(0, 0, … , 0) (2)

Ko’rinishida yoza olamiz. (2) ning chap tomoni har bir m o’lchovli n ta ( ) (t= ) vector ( ya’ni fazo elementi ) yig’indisining, o’ng tomoni esa nol vektorni ifodalaydi. Shuning uchun (2) dan quyidagi hoil bo’ladi:

(3)
Ohirg 2 tenglikda o’ng tomonidagi nol vektorni, ) lar esa qndaydir sonni ifodalaydi. Endi ) larning barchasini bir vaqtda nolga teng emasligini qaraymiz. fazoda istalgan n>m ta vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan. Demak, kamida bittasi noldan farqli shunday ) sonlar mavjudki, bo’lganda (3) to’g’ri sonly tengliklarni ifodalaydi. Bu esa (1) sistemani nolmas yechimga ega ekanligini tasdiqlaydi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli
Bizga n noma’lumli n tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(1)
Agarda, ) noma’lumlarini mos sonlar bilan almashtirganda (1) tenglamaning har biri ayniyatga aylansa, u holda sonlar to’plamini (1) tenglamalar sistemasining yechimi deyiladi.
Sistema noma’lumlarinimg oldindagi koeffitsientlaridan quyidagi determinantni tuzamiz:
d= (2)
Buni (1) sistemaning determinant deymiz. Endi d bo’lganda tenglamalar sistemasining determinantning qaysi bir satr yoki ustunini olmaylik, determinant d hamma vaqt ushbu satr yoki ustun elementlari bilan ularning mos algebraic to’ldiruvchilarining yig’indisiga teng bo’lishini bilamiz, boshqacha qilib aytganda:
D= (i=1,2, … , n) (3)
Shunga o’xshash, qandaydir satr yoki ustun elementlari bilan boshqa satr yoki ustunning mos elementlariga tegishli algebraik to’ldiruvchilardan tuzilganda ko’paytmalarning yig’indisi nolga teng bolishi aniq:
(4)
Bo’ladi
Endi (1) tizimning tenglamalarini mos larga ko’paytirib, keyin tenglamalarni o’zaro qo’shamiz:
(
Lekin bu (4) formulaga mufoviq quyidagi
(k S)
Ko’rinishidagi barcha yig’indilarga teng. Shuning uchun

Bo’lib, bunda boshqa barcha skobkalar yo’qolib na’tijada:
d (5)
Endi (5) tenglamaning o’ng tarafini koeffitsientlarining o’rniga ozod hadlar qo’yilganda, ya’ni S-chi ustun bilan d dan farq beradigam, ushbu :
=
Determinantni olaylik va uni s-chi ustun elementlari bo’yicha yoysak, unda (5) tenglamaning o’ng tarafini o’zi kelib chiqadi. Demak (5) ni quyidagicha yozish mumkin:
d (6)
Agarda d bo’lsa unda (s=1,2,…,n)
Bundan

Bo’lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, sonlari (1) sistemaning yechimi bo’lib topiladi.
(7) –ifoda Kramer usuli deyiladi.
Kramer formulasining ahamiyati, shundaki bu qoida qo’llanilishi mumkin. Bo’lgan hollarda tizimning yechimi uchun bu tizimning koeffitsientlari shunday ifodani beradi. Lekin, Kramer qoidasini amaliyotda qo’llanilishi ko’p uzundan uzoq xisoblashlar bilan bog’liq n noma’lumli n ta tenglamalar sistemasini berilgan bo’lsa, unda n-tartibli n+1 determinantni xisoblashga to’g’ri keladi. Noma’lumlarning ketma-ket yo’qotish usuli bu usuldan ancha qulay, lekin bu usul talab etilgan xisoblashlar asosida n-tartibli bir determinantni xisoblahga to’g’ri keladigan xisoblashlarga teng bo’ladi.