Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda innovatsion texnalogiyalar reja

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli
Chziqili tenglamalar sistemasini yechishning usullaridan biri noma’lumlarning ketma-ket yo’qotish usuli. Bu usuldan birinchi marta nemis matematigi K. Gauss foydalangani uchun Gauss deyiladi.
Quyidagi n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(1)
Bunda bo’lgani holda, m=n, m>n, m (i= ) lardan kamida bittasi noldan farqli, aks holda noma’lumlar soni n dan kichik bo’lar edi. Faraz qilaylik, . (1) sistemaning birinchi tenglamasini ketma-ket

Sonlariga ko’paytirib, natijalarni mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi, … , m-tenglamalariga qo’shamiz.Unda (1) ga ekvivalent bo’lgan quyidagi tenglama hosil bo’ladi:
(1’)
Bunda
)
(1’) sistemaning bir qismi bo’lgan yangi
(2)
Sistemni qaraymiz. (2) sistemada k m bo’ladi, chunki barcha koeffitsientlari va ozod hadi nolga teng bo’lgan ba’zi bir tenglamalar sistemadan tashlab yuboriladi.
Agar biz (2) sistemani yechib, larning son qiymatlarini (1’) ga qo’ysak, (1) sistemaning dastlabki tenglamasidan ning son qiymatini topa olamiz. Unda (1) sistema yechilgan bo’ladi.
Endi (2) sistemadan noma’lumni yo’qatamiz. Buning uchun b 0 deb faraz qilib, (2) ning birinchi tenglamasini ketma-ket

Larga ko’paytirib, natijalarni shu sistemaning ikkinchi, uchinchi, …, k- tenglamalariga ketma-ket qo’shamiz.:
(2’)
Sistema hosil bo’lib, (l k) u (2) ga ekvivalentdir. (2’) sistemaning bir qismi bo’lgan
(3)

2. 
   Sistemadagi noma’lumlar soni (2’) sistemadagi noma’lumlar sonidan hech bo’lmaganda bitta kam. Biz (3) sistemani yechsak, (2’) sistemani ham yecha olamiz. Noma’lumlarni yuqoridagi usulda ketma-ket yo’qotib, ohirida quyidagi 3 holdan faqatgina biriga duch kelamiz:
   

1. 
   Noma’limlarni ketma-ket yo’qotish jarayonida (1) sistemaning birorta tenglamasini
   

0 (4)
Bo’lib, bu yerda d ko’rinishida bo’lishi mumkin.

2. 
   Sistemaning eng so’ngi (koeffitsientlari noldan farqli ) tenglamasining noma’lumlari soni ikkitadan kichik emas.
   
3. 
   Eng so’ngi tenglama bir noma’lumli bo’lishi mumkin.
   

4. 
   Ko’rinishdagi tenglama odatda ziddiyatli tenglama deb yuritiladi. (4) tenglamani noma’lumlarning hech qanday son qiymatlari to’g’ri tenglikka aylantira olmaydi. Shuning uchun bunday holda (1) sistema yechimga ega bo’lmaydi.
   

2) holda (1’) sistema
(5)
Ko’rinishini oladi. Bu yerda
lar noldan farqli.

4. 
   Sistema (1) ning natijasi bo’lgani uchun (5) ning har bir yechimi (1) ning ham yechimi bo’ladi. (5) sistemaga e’tibor qilsak, u trapetsiya shaklini ifodalaydi. Shuning uchun bunday sistema trapetsimon sistema deb yuritiladi. Uning ohirgi
   

(6)
Tenglamasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’lganidan (5) va (1) sistema ham cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.

Eslatma (5) sistemaning ohirgi tenglamasi ikkita noma’lumga bog’liq bolishi shart emas. 3) holda (5) sistemaga yana bitta
(7)
Shakldagi tenglama birlashtiradi.
(7)tenglama bo’lgani uchun, yagona yechimga ega.
(7) dan ning son qiymatini topamiz va bu son qiymatni (6) ga qo’yib, ni topamiz. Keyin (5) sistemaning qolgan tenglamalaridan
larga mos keluvchi larni topamiz. Natijada (1) sistema ( ko’rinishidagi yagona yechimga ega bo’ladi. Sistemaning ohirgi ko’rinishi uning uchburchak ko’rinishi deb yuritiladi.
Xulosa: Agar noma’lumlarningni ketma-ket yo’qotish natijasida:

1. 
   Sistemaning biror tenglamasi ziddiyatli tenglamaga aylansa, u holda (1) sistema yechimga ega bo’lmaydi;
   
2. 
   Sistema trapetsiyasimon shaklga kelsa, (1) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi;
   
3. 
   Sistema uchburchak shaklga keltirilsa, u holda (1) sistema yagona yechimga ega bo’ladi.