Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda innovatsion texnalogiyalar reja

Teorema. (1) sistema hamjoyli sistema bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi (1) sistemani hamjoyli desak, u ( ) yechimga ega bo’ladi. Bu yechim (1) sistemaning hamma tenglamalarini to’g’ri sonly tenglikka aylantiradi:
= (i= ) (2)
(2) tenglik shuni bildiradiki, B matritsaning so’ngi = ustuni oldingi n ta ustunlarning ifodalovchi
=(

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi. Chunki bu vektorlarni mos ravishda sonlariga ko’paytirib qo’shsak, (2) ga asosan
(3)
Hosil bo’ladi. Demak, A va B matritsalarning
, , … , (4)
Va
, , … , , (5)
Vertikal vektorlari sistemalari ekvivalentdir. Ya’ni
r(A)=r(B)

Yetarliligi. r(A)=r(B)=k berilgan bo’lsin. A matritsaning, ya’ni(4) vertikal vektorlarning rangini aniqlovchi qism sistemani
, , … , (6)
ylik. B ning rangi ham k gat eng bo’lganidan, (6) sistema (5) ning ham rangini aniqlovchi sistema bo’lib xizmat qiladi. U holda (5) ning vektori (6) orqali va (4) sistema orqali chiziqli ifodalanadi. Ya’ni ( ) sonlari mvjud bo’lib,
tenglik bajariladi. Bundan esa, ikki vektorning tenglik shartiga asosan = (i= ) tengliklarga kelamiz. Shunday qilib (1) sistema yechimga ega, ya’ni (1) sistema hamjoyli sisetema bo’ladi. Bu teorema Kroneker-Kapelli teoremasidir.
Koeffitsientlari va ozod hadlari biror ℛ sonlar maydoniga tegishli bo’lgan
(i- (1)

(j= ) (2)
Chiziqli tenglamalar sistemalari berilgan bo’lsin. Bu tenglamalar sistemalari yechimlari to’plamini mos ravishda A va B orqali belgilaylik. Yuqoridagi tenglamalar sistemalariga e’tibor bersak, ulardagi tenglamalar soni har hil bo’lishi mumkin bo’lgani holda (m k bo’lishi mumkin) ulardagi noma’lumlar soni teng ekanligini ko’ramiz.