Мавзу: Иккинчи тартибли чизиқли дифференциал тенгламалар

Мустаҳкамлаш учун саволлар

1. Юқори тартибли дифференциал тенгламаларнинг қандай хиллари бор?

2. Қандай дифференциал тенгламаларнинг тартибини пасайтириш билан ечиш мумкин?

3. Қандай дифференциал тенгламаларга чизиқли дейилади?

4. Иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли дифференциал тенгламалар қандай кўринишда бўлади?

5. Характеристик тенглама нимадан иборат?

6. Характеристик тенглама илдизларига қараб умумий ечимни ёзиш мумкинми?

7. Характеристик тенглама илдизлари комплекс қўшма бўлганда ечим қандай ёзилади?

8. Характеристик тенглама илдизлари каррали, ҳақиқий ва ҳар хил бўлганда умумий ечим қандай ёзилади?

9. Эйлер формуласи қандай бўлади?

20-МАВЗУ. Иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли

бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламалар.
Режа:

1. Иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламалар.

2. Дифференциал тенгламаларнинг иқтисоддаги татбиқлари.
Таянч ибора ва тушунчалар

Чизиқли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг умумий ечими, бирорта хусусий ечим, бирорта хусусий ечимни тенгламанинг ўнг томони кўпҳад бўлганда топиш, синус ва косинус функциялар йиғиндиси бўлганда топиш, аниқмас коэффициентлар усули, ишлаб чиқаришнинг рақобатсиз шароитда ўсиш модели, ишлаб чиқаришнинг рақобатли шароитда ўсиши модели, логистик чизиқ, талаб ва таклифни дифференциал тенглама ёрдамида таҳлили.

1. Иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламалар.

Бундай тенглама

(1)

кўринишда бўлиб, бу ерда ўзгармас коэффициентлар, берилган узлуксиз функция.

Чизиқли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг умумий ечими, бундай тенгламанинг бирорта хусусий ечими ва унга мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечими йиғиндисидан иборат бўлади, яъни бир жинсли тенгламанинг умумий ечими бир жинсли бўлмаган тенгламанинг хусусий ечими бўлса, умумий ечим

(2)

кўринишда бўлади. Бу фикрга ечимни тенгламага қўйиб кўриш билан ишониш мумкин (буни бажариб кўринг). тенгламага мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечими ни топишни юқорида ўргандик. Эндиги вазифа бир жинсли бўлмаган тенгламанинг бирорта хусусий ечимини топишдан иборат бўлади. тенгламада функция:

1) бу ерда -даражали кўп ҳад;

2)

кўринишда бўлганда хусусий ечимни топиш масаласини қараймиз.

Биринчи ҳолда хусусий ечимни

кўринишда излаймиз, бу ерда – характеристик тенглама илдизларининг га тенг бўлганлари сони (0,1,2 бўлиши мумкин), билан бир хил даражали, лекин аниқмас коэффициентли кўпҳад. Бу ҳолга бир неча мисоллар қараймиз.

1-мисол. тенгламанинг умумий ечимини топинг.

Ечиш. Олдин берилган тенгламага мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини топамиз: бир жинсли тенглама бўлиб, унинг характеристик тенгламаси бўлади. Унинг илдизлари

бўлиб, биржинсли тенгламанинг умумий ечими бўлади.

Энди берилган биржинсли бўлмаган тенгламанинг хусусий ечимини топамиз: Уни функция ва берилган кўпҳад даражаси билан бир хил кўпҳад, лекин аниқмас коэффициентли кўпҳад кўпайтмаси кўринишида излаймиз. Шундай қилиб, хусусий ечим

кўринишда бўлади. Энди аниқмас ва коэффициентларни топиш лозим. Шартга кўра берилган тенгламани қаноатлантириши керак. Бунинг учун

ларни берилган тенгламага қўйиб,

тенгликни ҳосил қиламиз. Охирги тенгликни га бўлсак,

бўлади. берилган тенгламанинг ечими бўлиши учун охирги тенгламадаги бир хил даражали ларнинг коэффициентлари ўзаро тенг бўлиши керак, яъни

Учта номаълум коэффициентларга нисбатан учта чизиқли тенгламалар системасини ҳосил қилдик. Бу системани ечсак бўлади (буни бажариб кўринг).

Демак, берилган тенгламанинг хусусий ечими бўлади.

Берилган тенгламанинг умумий ечими (2) формулага асосан

бўлади.

Юқоридагидек хусусий ечимни топишга