Мавзу: Иккинчи тартибли чизиқли дифференциал тенгламалар

Эйлер формуласини татбиқ этсак,

тенгликлар ҳосил бўлади. Маълумки, бу функцияларнинг чизиқли комбинацияси ҳам бир жинсли тенгламанинг ечимлари бўлади. Шунинг учун

ва

функциялар ҳам (3) тенгламанинг ечимлари бўлади. Бу ечимлар чизиқли боғланмаган, чунки улардан тузилган Вронский детерминанти нўлдан фарқли (текшириб кўринг). Демак,

(8)

(3) тенгламанинг умумий ечими бўлади.

4-мисол. дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг.

Ечиш. Берилган тенгламага мос характеристик тенгламанинг илдизлари:

бўлади. Бу илдизлар комплекс қўшма бўлиб учинчи ҳолга мос келади. эканлигини ҳисобга олиб (8) формулага асосан умумий ечим,

бўлади.

Энди иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли бир жинсли тенглама учун берилган бошланғич шартни қаноатлантирувчи хусусий ечимни топишни, яъни Коши масаласини қараймиз.

5-мисол. дифференциал тенгламанинг бўлганда бўладиган хусусий ечимини топинг.

Ечиш. Берилган тенглама иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли, бир жинсли, чизиқли тенгламадир. Унга мос характеристик тенглама

бўлиб, унинг илдизлари бўлади. Демак, тенгламанинг умумий ечими

бўлади. Охирги тенгликдан ҳосила олсак,

бўлиб, бўлганда бошланғич шартларга асосан,

тенгламалар системаси ҳосил бўлади. Охирги тенгламалар системасидан ларни аниқлаймиз. Шундай қилиб, изланаётган хусусий ечим

бўлади.
Мустақил бажариш учун топшириқлар

1. тенгламанинг бўлганда бўладиган хусусий ечимини топинг.

2. Қуйидаги тенгламаларнинг умумий ечимларини топинг.

3. Қуйидаги дифференциал тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:

4. тенгламанинг бўлганда, бўладиган бошланғич шартларни қаноатлантирувчи хусусий ечимни топинг.