Mavzu: Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi Bajargan: Aydarova Dilfuza Qabul qilgan: Reimbaeva Dilafruz Nukus 2021 reja

1.5.Qator yaqinlashishining Koshi kriteriyasi. Berilgan qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti Koshi kriteriyasi orqali beriladi:
Teorema. Ushbu


(1)

shunday natural sonni ko’rsatish mumkin bo’lib, barcha va istalgan

natural p sonda boshqacha aytganda

(2)

Tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.

Isboti. Zaruriyligi: (1) qator yaqinlashuvchi, ya’ni =S bo’lsin.
U holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishining Koshi kriteriyasiga ko’ra ixtiyoriy musbat son uchun shunday natural son topilib, barcha va larda


(3)

tengsizlik bajariladi. deb olib, (3) dan (2) ni hosil qilamiz.

Yetarliligi: Teorema qator xususiy yig’indilar ketma-ketligi ning yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi. Demak, ta’rif bo’yicha (1) qator yaqinlashuvchi.
Misol. Koshi kriteriyasidan foydalanib

qatorning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.

Yechish: Ixtiyoriy musbot soni uchun shunday natural son topilib, va istalgan r natural sonda bajarilishini ko’rsatamiz.
Ravshanki,

Bulardan

ya’ni tengsizlikning istalgan n da o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak, da tengsizlik o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy son uchun deb olsak, va istalgan n natural son uchun tengsizlikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak, qator yaqinlashuvchi.

Koshi kriteriyasi nazariy tatqiqotlarda muhim ahamiyatga ega. Uning yordamida qatorlar haqidagi teoremalar isbotlanadi. Amalda, ya’ni berilgan qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlashda (2) tengsizlikning bajarilishini tekshirish ancha noqulay. Shu sababli amaliyotda boshqa alomatlardan foydalinaladi.