Mavzu: Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi Bajargan: Aydarova Dilfuza Qabul qilgan: Reimbaeva Dilafruz Nukus 2021 reja

1.6.5. Koshining integral alomati.
Teorema. Agar funkciya oraliqda nomanfiy, integrallanuvchi,
monoton kamayuvchi hamda qator hadlari uchun
tengliklar o’rinli bo’lsa, u holda
qator va xosmas integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki bir vaqtda
uzoqlashuvchi bo’ladi; yaqinlashuvchi bo’lgan holda
(9)
munosabat o’rinli bo’ladi.
Isbot. funkciya monoton kamayuvchi, demak
Tengsizliklardan kelib chiqadi. Bu qo’sh tengsizlikni k dan k+1 gacha integrallab,
, yoki bo’lganligi
uchun qo’sh tengsizliklarga erishamiz.
So’ngi tengsizliklarni k=1,2,…..,n uchun yozamiz:


………………………

Bularni hadma-had qo’shib, quyidagiga ega bo’lamiz:

2. Shartli yaqinlashuvchi qatorlar.
Teorema. Agar ixtiyoriy hadli
(1)
Qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan
(2)
Qator yaqinlashsa, u holda berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot: va mos ravishda (1) va (2) qatorlarning n-xususiy yig’indilari bo’lsin. bilan barcha musbat va bilan xususiy yig’indidagi barcha manfiy ishorali hadlar absolyut qiymat yigindisini belgilaymiz. U holda
bo’ladi.
Shartga ko’ra (2) qator yaqinlashuvchi, shu sababli xususiy yig’indilar ketma-ketligi S limitga ega.
va lar esa musbat va o’suvchi, shu bilan birgalikda
va (chegaralangan), demak ular ham limitga ega:


munosabatdan ham limitga egaligi kelib chiqadi:

Ta’rif. Agar ixtiyoriy hadli (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan (2) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda (1) qator shartli yaqinlshuvchi deyiladi.
Misol. Quyidagi qatorni qaraylik:

Yechish. Leybnits alomatiga ko’ra bu qator yaqinlashuvchi, lekin qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan 1+ qator uzoqlashuvchi. Demak, qator shartli uzoqlashuvchi.