1.6.4. Koshining radikal alomati.
Teorema. Agar
musbat hadli qator uchun
chekli jud limit mavjud bo’lsa, u holda da berilgan qator yaqinlashuvchi,
da esa uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot: Aytaylik bo’lsin. Ushbu tengsizlikni qanoatlandiruvchi biror q sonni tanlaymiz. U holda bo’lganligi sababli nomerdan boshlab, yoki tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan esa
munosabatlar o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
bo’lganligi sababli,
Geometrik qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Qaralayotgan (6) qatorning k-hadidan boshlab barcha hadlari ((7) munosabatga ko’ra) (8) qatorning mos hadlaridan kichik. Demak taqqoslash alomatiga ko’ra (6) qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
Endi bo’lsin. U holda bo’lganligi sababli, biror nomerdan boshlab bo’ladi. Bundan Demak (6) qatorning umumiy hadi da nlga intilmaydi, ya’ni (6) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
1-izoh. Agar bo’lsa, (6) qator uzoqlashuvchi bo’ladi,
chunki bu holda ham biror k nomerdan boshlab boladi.
2-izoh. mavjud bo’lmagan yoki mavjud va 1 ga teng teng bo’lgan holda, Koshi alomati qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligi haqidagi masalaga javob bermaydi.
Haqiqatdan ham, masalan qator yaqinlashuvchi, lekin
.
1+1+1+…+1+… qator uzoqlashuvchi, lekin bu qator
6-misol. Berilgan qatorni yaqinlashishga tekshiring:
Yechish.
Demak, qator yaqinlshuvchi.
7-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish.
Qator uzoqlashuvchi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
