Mavzu: Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi Bajargan: Aydarova Dilfuza Qabul qilgan: Reimbaeva Dilafruz Nukus 2021 reja

1.3. Qatorning qaoldig’i. Ushbu


(1)

qator berilgan bo’lsin. Uning dastlabki n ta hadi (tayin son) tashlab yuborish natijasida yangi qator hosil bo’ladi:

(2)

(2) qator (1) qatorning n-qaldig’i deyiladi. (2) qatorning yig’indisini orqali

belgilaymiz. Demak, . Qator va uning qoldig’i orasida quyidagi

munosabat o’rinli:

Teorema. Qator va uning qoldig’i bir vaqtda yo yaqinlashadi yo uzoqlashadi.
Isboti. Berilgan (1) qatorning dastlabki n ta yig’indisini , qator qoldig’ining, yani (2) qatorning dastlabki k ta hadining yig’indisi bo’lsin. U holda ravshanki,


, yoki


(3)

Bundan esa

(4)

hosil bo’ladi.

Faraz qilaylik (1) qator yaqinlashuvchi va bo’lsin. U holda

ketma-ketlikning qism ketma-ketligi ham yaqinlashuvchi va

bo’ladi. Bu esa (3) tenglikning ong tomonining limiti va, demak, chap tomoninig limiti ham mavjudligini ta’minlaydi. Shunday qilib,

Bu degani qatorning qoldig’i yaqnlashuvchi va uning yg’indisi ga teng ekanligini bildiradi.

Endi (2) qator yaqinlashuvchi va bo’lsin, bu yerda n tayin son ekanligini eslatib o’tamiz. U holda (4) tenglikdan quyidagiga ega bo’lamiz:


,

yani (1) qator xususiy yig’indilar ketma-ketligi yaqinlashuvchi va limiti ga teng. Demak (1) qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng.

1-natija. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (2) qatorning yig’indisi


da nolga intiladi, ya’ni bo’ladi.


Isboti: Haqiqattan ham, tenglik o’rinli.
Bundan


Misol. qator uchun ni toping va barcha larda tengsizlik bajariladigan N ni ko’rsating.


Yechish: va ekanlgini ko’rsatgan edik.


formulaga ko’ra bo’ladi. Ravshanki,


. Demak, tengsizlik bajarilishi uchun


bajarilishi yetarli. Bundan yoki munosabatga ega bo’lamiz. Shunday qilib, N=9999 dan boshlab barcha n lar uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.


2-natija. Agar


(5)

Va
(6)

Qatorlar bir-biri bilan faqat chekli sondagi hadlari bilan farq qilsa, u holda bu qatorlar bir vaqtda yaqinlashadi, yoki bir vaqtda uzoqlashadi.

Isboti: Haqiqatdan, ham (5) va (6) qatorlar faqat chekli sondagi hadlari bilan farq qilsa, u holda biror k dan boshlab, ya’ni barcha da bo’ladi, demak, ularning qoldiqlari aynan bitta


(7)

qatordan iborat. Shu sababli (5) va (6) qatorlar (7) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, yaqinlashadi, uzoqlashuvchi bo’lsa uzoqlashadi.

3-natija. Berilgan qatorning chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish (yoki chekli sondagi yangi hadlarni qo’shish) natijasda hosil bo’lgan qator berilgan qator bilan bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’ladi.
Boshqasha aytganda, berilgan qatorning chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish, yoki qatorga chekli sondagi yangi hadlarni qo’shish qatorning yaqinlashish xarakteriga ta’sir etmaydi.
Shu sababli, qatorni yaqinlashishga tekshirganda uning chekli sondagi hadlarini o’zgartirish mumkin.